Question

（2013•朝陽區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²+bx+4與x軸交于點A（-2，0）、B（6，0），與y軸交于點C，直線CD∥x軸，且與拋物線交于點D，P是拋物線上一動點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）過點P作PQ⊥CD于點Q，將△CPQ繞點C順時針旋轉，旋轉角為α（0°＜α＜90°），當cosα=

3

5

，且旋轉后點P的對應點P'恰好落在x軸上時，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可得出答案；
（2）分別利用P點在y軸右側和左側，設P（x，y），利用cosα=

3

5

，表示出各邊長度，進而分別求出P點坐標即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意得

4a-2b+4=0 36a+6b+4=0

，
解得：

a=- 1 3 b= 4 3

．
所以拋物線的解析式為y=-

1

3

x2+

4

3

x+4．

（2）如圖1，過點Q的對應點Q'作EF⊥CD于點E，交x軸于點F．
設P（x，y），則CQ=x，PQ=4-y．
由題意可知：CQ'=CQ=x，P'Q'=PQ=4-y，∠CQP=∠CQ'P'=90°．
∴∠QCQ'+∠CQ'E=∠P'Q'F+∠CQ'E=90°．
∴∠P'Q'F=∠QCQ'=α．
又∵cosα=

3

5

，
∴EQ′=

4

5

x，FQ′=

3

5

(4-y)．
∴

4

5

x+

3

5

(4-y)=4．
∵y=-

1

3

x2+

4

3

x+4，
整理可得

1

5

x2=4．
∴x1=2

5

，x2=-2

5

（舍去）．
∴P(2

5

，

8 5 -8

3

)．
如圖2，過點Q的對應點Q'作EF⊥CD于點E，交x軸于點F．
設P（x，y），則CQ=-x，PQ=4-y．
可得∠P'Q'F=∠QCQ'=α．
又∵cosα=

3

5

，
∴EQ′=-

4

5

x，FQ′=

3

5

(4-y)．
∴-

4

5

x+4=

3

5

(4-y)．
∵y=-

1

3

x2+

4

3

x+4，
整理可得

1

5

x2=4．
∴x1=2

5

（舍去），x2=-2

5

．
∴P(-2

5

，-

8 5 +8

3

)．
∴P(2

5

，

8 5 -8

3

)或P(-2

5

，-

8 5 +8

3

)．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及銳角三角函數(shù)的關系和旋轉的性質等知識，利用分類討論的思想得出是解題關鍵．