Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M是邊BC上的一點(diǎn)（不與B、C重合），點(diǎn)N在CD邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且滿(mǎn)足∠MAN=90°，聯(lián)結(jié)MN、AC，N與邊AD交于點(diǎn)E．

（1）求證：AM=AN；

（2）如果∠CAD=2∠NAD，求證：AM2=ACAE．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理證明△BAM≌△DAN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；

（2）證明△AMC∽△AEN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)證明．

詳解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴ AB=AD，∠BAD=90°，

又∵∠MAN=90°，∴∠BAM=∠DAN．

在△BAM和△DAN中，，

∴△BAM≌△DAN，∴AM=AN；

（2）四邊形ABCD是正方形，∴∠CAD=45°．

∵∠CAD=2∠NAD，∠BAM=∠DAN，

∴∠MAC=45°，∴∠MAC=∠EAN，

又∠ACM=∠ANE=45°，∴△AMC∽△AEN，

∴=，∴ANAM=ACAE，∴AM2=ACAE．