Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C（0，3），A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0）．點(diǎn)P是拋物線上一個動點(diǎn)，且在直線BC的上方．

（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式．

（2）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，四邊形 ABPC的面積最大，并求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積．

Answer 1

【答案】（1）二次函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣x2+2x+3；（2）存在點(diǎn)P，使四邊形POP′C為菱形，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（， ）；（3）P點(diǎn)的坐標(biāo)為（， ），四邊形ABPC面積的最大值為.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)菱形的對角線互相平分，可得P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)值與自變量的對應(yīng)關(guān)系，可得答案；

（3）根據(jù)面積的和差，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得m的值，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得P點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：（1）將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得 ，解得 ，

所以二次函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣x2+2x+3；

（2）如圖，存在點(diǎn)P，使四邊形POP′C為菱形．

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，﹣x2+2x+3），PP′交CO于E，

若四邊形POPC是菱形，則有PC=PO，

連接PP則PE⊥CO于E，

∴OE=CE=，

∴y=，

∴-x2+2x+3=，

解得x1=，x2=（不合題意，舍去），

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（， ）；

（3）如圖1，

，

過點(diǎn)P作y軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q，與OB交于點(diǎn)F，設(shè)P（x，﹣x2+2x+3）

易得，直線BC的解析式為y=﹣x+3．

則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，﹣x+3）．

PQ=﹣x2+3x．

S四邊形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ=ABOC+QPBF+QPOF=×4×3+（﹣x2+3x）×3=﹣（x﹣）2+，

當(dāng)x=時，四邊形ABPC的面積最大，

此時P點(diǎn)的坐標(biāo)為（， ），四邊形ABPC面積的最大值為．