Question

如圖所示，P是△ABC邊AC上的動點，以P為頂點作矩形PDEF，頂點D，E在邊BC上，頂點F在邊AB上；△ABC的底邊BC及BC上的高的長分別為a，h，且是關于x的一元二次方程mx²+nx+k=0的兩個實數(shù)根，設過D，E，F(xiàn)三點的⊙O的面積為S_⊙O，矩形PDEF的面積為S_矩形PDEF．
（1）求證：以a+h為邊長的正方形面積與以a、h為邊長的矩形面積之比不小于4；
（2）求

S⊙O

S矩形PDEF

的最小值；
（3）當

S⊙O

S矩形PDEF

的值最小時，過點A作BC的平行線交直線BP與Q，這時線段AQ的長與m，n，k的取值是否有關？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由根與系數(shù)的關系可得到a+h及ah的值，然后分別表示出正方形和矩形的面積，再根據(jù)根的判別式進行判斷即可；
（2）過D、E、F三點的⊙O一定是以DF為直徑的圓，那么其面積為：

π

4

（EF²+DE²）；而矩形PDEF的面積為：EF•DE；那么

S⊙O

S矩形PDEF

=

π

4

(

EF

DE

+

DE

EF

)，可將

EF

DE

看作一個整體，將兩個圖形的面積比轉化為完全平方式，進而得出其最小值；
（3）過B作BM⊥AQ于M，交直線PF于N；易證得△FBP∽△ABQ，根據(jù)相似三角形的對應線段成比例可得EP：AQ=BN：BM；而當（2）的面積比最小時，EF=DE，此時BN=FP，即AQ=BM=h；h是已知方程的一個根，由此可判斷出AQ的長是否與m、n、k的取值有關．

解答：解：解法一：
（1）據(jù)題意，∵a+h=-

n

m

，ah=

k

m

∴所求正方形與矩形的面積之比：

(a+h)2

ah

=

(- n m )2

k m

=

n2

mk

（1分）
∵n²-4mk≥0，∴n²≥4mk，由ah=

k

m

知m，k同號，
∴mk＞0 （2分）
（說明：此處未得出mk＞0只扣（1分），不再影響下面評分）
∴

n2

mk

≥

4mk

mk

=4（3分）
即正方形與矩形的面積之比不小于4．

（2）∵∠FED=90°，∴DF為⊙O的直徑．
∴⊙O的面積為：S⊙O=π(

DF

2

)2=π

DF2

4

=

π

4

(EF2+DE2)． （4分）
矩形PDEF的面積：S_矩形PDEF=EF•DE．
∴面積之比：

S⊙O

S矩形PDEF

=

π

4

(

EF

DE

+

DE

EF

)，設

EF

DE

=f．

S⊙O

S矩形PDEF

=

π

4

(f+

1

f

)
=

π

4

[(

f

)2+(

1

f

)2-2

f

-

1

f

+2

f

1

f

]
=

π

4

(

f

-

1

f

)2+

π

2

．（6分）
∵(

f

-

1

f

)2≥0，∴

π

4

(

f

-

1

f

)2+

π

2

≥

π

2

，
∴

f

=

1

f

，即f=1時（EF=DE），

S⊙O

S矩形PDEF

的最小值為

π

2

（7分）

（3）當

S⊙O

S矩形PDEF

的值最小時，這時矩形PDEF的四邊相等為正方形．
過B點過BM⊥AQ，M為垂足，BM交直線PF于N點，設FP=e，
∵BN∥FE，NF∥BE，∴BN=EF，∴BN=FP=e．
由BC∥MQ，得：BM=AG=h．
∵AQ∥BC，PF∥BC，∴AQ∥FP，
∴△FBP∽△ABQ． （8分）
（說明：此處有多種相似關系可用，要同等分步驟評分）
∴

FP

AQ

=

BN

BM

，（9分）
∴

e

AQ

=

e

h

，∴AQ=h （10分）
∴AQ=

-n± n2-4mk

2m

（11分）
∴線段AQ的長與m，n，k的取值有關．
（解題過程敘述基本清楚即可）

解法二：
（1）∵a，h為線段長，即a，h都大于0，
∴ah＞0 （1分）（說明：此處未得出ah＞0只扣（1分），再不影響下面評分）
∵（a-h）²≥0，當a=h時等號成立．
故，（a-h）²=（a+h）²-4ah≥0．（2分）
∴（a+h）²≥4ah，
∴

(a+h)2

ah

≥4．（﹡） （3分）
這就證得

(a+h)2

a-h

≥4．（敘述基本明晰即可）
（2）設矩形PDEF的邊PD=x，DE=y，則⊙O的直徑為

x2+y2

．
S_⊙O=π(

x2+y2

2

)2（4分），S_矩形PDEF=xy

S⊙O

S矩形PDEF

=

π(x2+y2)

4xy

=

π

4

[

(x2+2xy+y2)-2xy

xy

]=

π

4

[

(x+y)2

xy

-2]（6分）

(x+y)2

xy

≥4由（1）（*）．
∴

π

4

[

(x+y)2

xy

-2]≥

π

4

(4-2)=

π

2

．
∴

S⊙O

S矩形PDEF

的最小值是

π

2

（7分）

（3）當

S⊙O

S矩形PDEF

的值最小時，
這時矩形PDEF的四邊相等為正方形．
∴EF=PF．作AG⊥BC，G為垂足．
∵△AGB∽△FEB，∴

AB

BF

=

AG

EF

． （8分）
∵△AQB∽△FPB，

AB

BF

=

AQ

PF

，（9分）
∴

AB

BF

=

AG

EF

=

AQ

PF

．
而EF=PF，∴AG=AQ=h，（10分）
∴AG=h=

-n+ n2-4mk

2m

，
或者AG=h=

-n- n2-4mk

2m

（11分）
∴線段AQ的長與m，n，k的取值有關．
（解題過程敘述基本清楚即可）

點評：此題主要考查了矩形的性質、相似三角形的判定和性質以及二次函數(shù)的應用等知識，綜合性強，難度較大．