Question

將一副三角板如示意圖擺放在一起，請?jiān)趫D1或圖2中任選一個圖形進(jìn)行解答．
（1）連接DA，計(jì)算∠BDA的余切值；
（2）求作一個二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程，使cot∠BDA和2tan∠BDA為此方程的兩個根．

Answer 1

分析：（1）如圖2先過點(diǎn)A作AE⊥BD于E，設(shè)AB=a，在Rt△ABC中，利用cot30°=

3

，可求BC，在Rt△BCD中，利用sin45°=

2

2

，又可求BD，易證△ABE是等腰直角三角形，從而利用sin45°=

2

2

，可求AE、BE，于是在Rt△ADE中，可求cot∠EDA=

DE

AE

=

BD-BE

AE

，即cot∠BDA的值．
（2）由（1）可求出tan∠BAD，設(shè)所求作的二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程為x²+px+q=0，根據(jù)根和系數(shù)的關(guān)系求出p和q，從得出一個二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程，使cot∠BDA和2tan∠BDA為此方程的兩個根．

解答：解：（1）如圖所示，過點(diǎn)A作AE⊥BD于E，
設(shè)AB=a，
在Rt△ABC中，∠BCA=30°，那么可知
BC=cot30°×AB=

3

a，
在Rt△BCD中，BD=sin45°×BC=

6

2

a，
又∵AE⊥BD，∠CBD=45°，
∴BE=AE=sin45°×a=

2

2

a，
∴在Rt△ADE中，cot∠EDA=

DE

AE

=

BD-BE

AE

=

6 2 a- 2 2 a

2 2 a

=

3

-1；
即cot∠BDA=

3

-1．

（2）設(shè)所求作的二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程為x²+px+q=0，
∵cot∠BDA=

3

-1，
∴tan∠BDA=

1

3- 1

，
∴p=-（cot∠BDA+2tan∠BDA）=-（

3

-1+2×

1

3 - 1

）=-2

3

，
q=cot∠BDA×2tan∠BDA=（

3

-1）×2×

1

3 -1

=2，
∴所求作的一元二次方程為x²-2

3

x+2=0．

點(diǎn)評：本題考查了直角三角形的性質(zhì)、特殊三角函數(shù)值．解本題最關(guān)鍵的是作輔助線AE，構(gòu)造直角三角形．