Question

（2008•廈門(mén)）已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD（AD＞AB），將紙片折疊一次，使點(diǎn)A與C重合，再展開(kāi)，折痕EF交AD邊于E，交BC邊于F，分別連接AF和CE．
（1）求證：四邊形AFCE是菱形；
（2）若AE=10cm，△ABF的面積為24cm²，求△ABF的周長(zhǎng)；
（3）在線(xiàn)段AC上是否存在一點(diǎn)P，使得2AE²=AC•AP？若存在，請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)P的位置，并予以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)槭菍?duì)折所以AO=CO，利用三角形全等證明EO=FO，四邊形便是菱形；
（2）因?yàn)槊娣e是24，也就是AB、BF的積可以求出，所以求周長(zhǎng)只要求出AB、BF的和就可以，而結(jié)合勾股定理它們和的平方減去乘積二倍就是AF的平方；
（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021231515591401959/SYS201310212315155914019000_DA/0.png">AC=AO所以可以從與△AOE相似的角度考慮，即過(guò)E作EP⊥AD．
解答：（1）證明：連接EF交AC于O，
當(dāng)頂點(diǎn)A與C重合時(shí)，折痕EF垂直平分AC，
∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°（1分）
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴OE=OF（2分）
∴四邊形AFCE是菱形．（3分）

（2）解：四邊形AFCE是菱形，∴AF=AE=10．
設(shè)AB=x，BF=y，∵∠B=90，
∴（x+y）²-2xy=100①
又∵S_△ABF=24，∴xy=24，則xy=48．②（5分）
由①、②得：（x+y）²=196（6分）
∴x+y=14，x+y=-14（不合題意舍去）
∴△ABF的周長(zhǎng)為x+y+AF=14+10=24．（7分）

（3）解：過(guò)E作EP⊥AD交AC于P，則P就是所求的點(diǎn)．（9分）
證明：由作法，∠AEP=90°，
由（1）得：∠AOE=90°，又∠EAO=∠EAP，
∴△AOE∽△AEP（AA），
∴=，則AE²=AO•AP（10分）
∵四邊形AFCE是菱形，∴AO=AC，AE²=AC•AP（11分）
∴2AE²=AC•AP（12分）
即P的位置是：過(guò)E作EP⊥AD交AC于P．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查（1）菱形的判定方法“對(duì)角線(xiàn)互相垂直且平分的四邊形”，（2）相似三角形的判定和性質(zhì)．