Question

【題目】如圖，點P是反比例函數(shù)上第一象限上一個動點，點A、點B為坐標軸上的點，A（0，k），B（k，0）．已知△OAB的面積為．

（1）求k的值；

（2）連接PA、PB、AB，設△PAB的面積為S，點P的橫坐標為t．請直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）閱讀下面的材料回答問題：

當a＞0時，

∵≥0，∴≥2，即≥2

由此可知：當=0時，即a=1時，取得最小值2．

問題：請你根據(jù)上述材料探索（2）中△PAB的面積S有沒有最小值？若有，請直接寫出S的最小值；若沒有，說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 1 (2) S=；(3)

【解析】

（1）由雙曲線過一三象限，則k>0，有三角形面積公式可求得k值；

（2）過點P作PH⊥x軸于H，過點P作PG⊥y軸于G，連接OP，如圖2．運用割補法就可解決問題；

（3）可借鑒閱讀材料的經(jīng)驗，運用配方法就可解決問題．

（1）由圖象可知：2k＞0，即k＞0，

則S△OAB=OBOA=k2=，

解得：k1=1，k2=-1，

∵k＞0，

∴k=1；

（2）過點P作PH⊥x軸于H，過點P作PG⊥y軸于G，連接OP，如圖2，

∵xP=t，

∴yP=，

∴PG=t，PH=，

則S=S四邊形OAPB-S△OAB=S△OAP+S△OBP-S△OAB=OAPG+OBPH-=×1×t+×1×-=+-，

∵點P在第一象限，

∴t＞0，

∴S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為S=+-，t/span>的取值范圍為t＞0；

（3）S=+-=（t+-1）=（t+-2+2-1）=[（-）2+2-1]=（-）2+-．

∴當=即t=時，S取到最小值，最小值為-．