Question

如圖（1）至圖（3），C為定線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，以AC、BC為邊分別向外側(cè)作正方形CADF和正方形CBEG，分別作DD₁⊥AB、EE₁⊥AB，垂足分別為D₁、E₁．當(dāng)C的位置在直線AB的同側(cè)變化過程中，
（1）如圖（1），當(dāng)∠ACB=90°，AC=4，BC=3時(shí)，求DD₁+EE₁的值；
（2）求證：不論C的位置在直線AB的同側(cè)怎樣變化，DD₁+EE₁的值為定值；
（3）求證：不論C的位置在直線AB的同側(cè)怎樣變化，線段DE的中點(diǎn)M為定點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）由正方形與垂線的性質(zhì)，易證得：△DD₁A∽△ACB，△EE₁B∽△BCA，又由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得DD₁與EE₁的長，則可求得DD₁+EE₁的值；
（2）定線段AB長為定值；猜想DD₁+EE₁=AB；過點(diǎn)C作CH⊥AB，垂足為H；再通過兩對(duì)全等三角形來證明DD₁+EE₁=AB即可；
（3）利用“梯形的中位線長等于兩底和的一半”，設(shè)M為DE的中點(diǎn)，Q為D₁E₁的中點(diǎn)，MQ=

1

2

AB且MQ⊥AB，特殊地，當(dāng)四邊形DD₁E₁E為矩形時(shí)，以上結(jié)論仍然成立．又因?yàn)榭勺C明D₁A=E₁B，所以D₁E₁的中點(diǎn)就是AB的中點(diǎn)．所以，不論C的位置在直線AB的同側(cè)怎樣變化，線段DE的中點(diǎn)M為定點(diǎn)，此定點(diǎn)M恒在“點(diǎn)C的同側(cè)，與AB的中點(diǎn)Q距離為

1

2

AB長的點(diǎn)上”．

解答：解：（1）∵DD₁⊥AB、EE₁⊥AB，
∴∠DD₁A=∠EE₁B=∠ACB=90°，
∵四邊形ACFD與BEGC是正方形，
∴∠DAC=∠CBE=90°，
∴∠DAD₁+∠CAB=∠CAB+∠CBA=∠CBA+∠EBE₁₌90°，
∴∠DAD₁=∠ABC，∠EBE₁=∠BAC，
∴△DD₁A∽△ACB，△EE₁B∽△BCA，
∴

DD1

4

=

4

5

，

EE1

3

=

3

5

，
∴DD1=

16

5

，EE1=

9

5

；
∴DD₁+EE₁=5；

（2）過點(diǎn)C作CK⊥AB于K，
∵DD₁⊥AB、EE₁⊥AB，
∴∠DD₁A=∠EE₁B=∠AKC=∠BKC=90°，
∴∠DAD₁+∠CAB=∠CAE+∠ACK=∠CBK+∠BCK=∠CBK+∠EBE₁₌90°，
∴∠DAD₁=∠ACK，∠EBE₁=∠BCK，
∵AD=AC，BC=BE，
∴△ADD₁≌△CAK，△EBE₁≌△BCK，
∴DD₁=AK，EE₁=BK，
∴DD₁+EE₁=AB，
∴不論C的位置在直線AB的同側(cè)怎樣變化，DD₁+EE₁的值為定值；

（3）設(shè)M為DE的中點(diǎn)，Q為D₁E₁的中點(diǎn)，
則：MQ=

1

2

(DD1+EE1)=

1

2

AB且MQ⊥AB，
當(dāng)四邊形DD₁E₁E為矩形時(shí)，以上結(jié)論仍然成立．
∴△ADD₁≌△CAK，△EBE₁≌△BCK，
又∵D₁A=CK=E₁B，
∴D₁E₁的中點(diǎn)就是AB的中點(diǎn)．
∴不論C的位置在直線AB的同側(cè)怎樣變化，線段DE的中點(diǎn)M為定點(diǎn)，
∴此定點(diǎn)M恒在“點(diǎn)C的同側(cè)，與AB的中點(diǎn)Q距離為

1

2

AB長的點(diǎn)上”．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形與全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，以及梯形中位線的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．