Question

如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)A在y軸上，坐標(biāo)A（0，1）矩形CDEF的頂點(diǎn)C、F在拋物線上，D、E在x軸上，CF交y軸于點(diǎn)B（0，2），S_矩形CDEF=8
（1）求此拋物線的解析式；
（2）過(guò)B作直線MN，與拋物線交于點(diǎn)M、N，過(guò)M、N分別向x軸作垂線MR、NQ，分別交x軸于R、Q，求證：MR=MB；
（3）在線段QR上是否存在一個(gè)點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、R、M為頂點(diǎn)的三角形和以P、N、Q為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在．請(qǐng)說(shuō)明理由，并找出P的位置；若不存在，也請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式形式為y=ax²+c，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；
（2）過(guò)點(diǎn)B作BT⊥MR于T，根據(jù)點(diǎn)M在拋物線上設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，

1

4

a²+1），然后表示出MT、BT、BM，再根據(jù)圖形求出MT=MR-RT，在Rt△BTM中，利用勾股定理列式表示出MB²，從而得證；
（3）根據(jù)∠PRM=∠PQN=90°，分△PQN∽△MRP時(shí)，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等可得，∠NPQ=∠RMP，∠QNP=∠RPM，再根直角三角形的性質(zhì)求出∠NPM=90°，取MN的中點(diǎn)為W，連接WP，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半表示出WP=

1

2

MN=

1

2

（NQ+MR），從而判定WP為梯形NQRM的中位線，得到點(diǎn)P為QR的中點(diǎn)△PQN∽△PRM時(shí)，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得

PQ

PR

=

QN

MR

=

BN

MB

，再根據(jù)

BN

BM

=

QO

OR

，可得點(diǎn)P與原點(diǎn)O重合．

解答：解：（1）∵矩形CDEF的頂點(diǎn)C、F在拋物線上，D、E在x軸上，CF交y軸于點(diǎn)B（0，2），S_矩形CDEF=8，
∴EF×DE=8，
∴DE=4，∴F點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，2），
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+c，其過(guò)點(diǎn)A（0，1）和F（2，2），
所以，

c=1 4a+c=2

，
解得：

a= 1 4 c=1

，
所以，此函數(shù)解析式為y=

1

4

x²+1；


（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BT⊥MR于T，
∵M(jìn)點(diǎn)在拋物線y=

1

4

x²+1上，可設(shè)點(diǎn)M（a，

1

4

a²+1），
∴MR=

1

4

a²+1，OB=RT=2，BT=a，
∴MT=MR-TR=

1

4

a²+1-2=

1

4

a²-1，
在Rt△BMT中，MB²=BT²+MT²=（

1

4

a²-1）²+a²=（

1

4

a²+1）²，
∴BM=

1

4

a²+1，
∵M(jìn)R=

1

4

a²+1，
∴MB=MR；

（3）如圖2，若以點(diǎn)P、R、M為頂點(diǎn)的三角形和以P、N、Q為頂點(diǎn)的三角形相似，
∵∠PRM=∠PQN=90°，
∴分△PQN∽△MRP和△PQN∽△PRM兩種情況，
當(dāng)△PQN∽△MRP時(shí)，∠NPQ=∠RMP，∠QNP=∠RPM，
根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得，∠NPQ+∠RPM=90°，
∴∠NPM=90°，
取MN的中點(diǎn)W，連接WP，則WP=

1

2

MN=

1

2

（NQ+MR），
∴WP為梯形NQRM的中位線，
∴P為QR的中點(diǎn)；
當(dāng)△PQN∽△PRM時(shí)，
∵

PQ

PR

=

QN

MR

，
∵M(jìn)B=MR，同理可得出：NB=NQ，
∴

PQ

PR

=

QN

MR

=

BN

MB

，
又∵

BN

BM

=

QO

OR

，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，
綜上所述，點(diǎn)P為QR的中點(diǎn)時(shí)，△PQN∽△MRP；點(diǎn)P為原點(diǎn)時(shí)△PQN∽△PRM．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)綜合題中二次函數(shù)的對(duì)稱性、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、勾股定理的應(yīng)用以及相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，求點(diǎn)P的位置時(shí)要注意根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的不同分情況進(jìn)行討論．