Question

利用我們學(xué)過的知識，可以導(dǎo)出下面這個形式優(yōu)美的等式：a²+b²+c²-ab-bc-ac=

1

2

[（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²]，該等式從左到右的變形，不僅保持了結(jié)構(gòu)的對稱性，還體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧、簡潔美；
（1）請你檢驗(yàn)說明這個等式的正確性．
（2）若a=2011，b=2012，c=2013，你能很快求出a²+b²+c²-ab-bc-ac的值嗎？
（3）若a-b=

3

5

，b-c=

3

5

，a²+b²+c²=1，求ab+bc+ac的值．

Answer 1

分析：（1）等式右邊中括號中利用完全平方公式站那看，合并后去括號得到結(jié)果，與左邊比較即可得證；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，將a，b，c的值代入右邊計算即可求出值；
（3）由題意求出a-c的值，所求式子利用完全平方公式變形，將各自的值代入計算即可求出值．

解答：解：（1）等式右邊=

1

2

（a²-2ab+b²+b²-2bc+c²+a²-2ac+c²）=

1

2

（2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac）=a²+b²+c²-ab-bc-ac=左邊，得證；
（2）當(dāng)a=2011，b=2012，c=2013時，a²+b²+c²-ab-bc-ac=

1

2

[（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²]=3；
（3）∵a-b=

3

5

，b-c=

3

5

，∴a-c=

6

5

，
∵a²+b²+c²=1，
∴ab+bc+ac=a²+b²+c²-

1

2

[（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²]=1-

1

2

（

9

25

+

9

25

+

36

25

）=-

2

25

．

點(diǎn)評：此題考查了因式分解的應(yīng)用，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．