Question

已知a、b是關(guān)于x的一元二次方程x²-2mx+m²+4m-2=0的兩個實數(shù)根，那么a²+b²的最小值是

1

2

．

Answer 1

分析：利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出a+b，ab，再根據(jù)完全平方公式整理成關(guān)于m的式子，再利用根的判別式求出m的值，然后根據(jù)二次函數(shù)的增減性求出最小值．

解答：解：由根與系數(shù)的關(guān)系得，a+b=2m，ab=m²+4m-2，
所以，a²+b²=（a+b）²-2ab，
=4m²-2（m²+4m-2），
=2m²-8m+4，
=2（m-2）²-4，
∵方程有兩個實數(shù)根，
∴△=b²-4ac=（-2m）²-4×1×（m²+4m-2）≥0，
解得m≤

1

2

，
∵2＞0，
∴m＜2時，a²+b²的值隨m的增大而減小，
∴當m=

1

2

時，a²+b²的值最小，為2（

1

2

-2）²-4=

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點評：本題考查了二次函數(shù)的最值問題，主要利用了根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式，根的判別式，難點在于利用根的判別式求出m的取值范圍．