Question

【題目】直線AB交⊙O于C、D兩點，CE是⊙O的直徑，CF平分∠ACE交⊙O于點F，連接EF，過點F作FG∥ED交AB于點G．

（1）求證：直線FG是⊙O的切線；

（2）若FG＝4，⊙O的半徑為5，求四邊形FGDE的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）48

【解析】試題分析：（1）利用角平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得出∠OFC=∠FCG，繼而得出∠GFC+∠OFC=90°，即可得出答案；

（2）首先得出四邊形FGDH是矩形，進而利用勾股定理得出HO的長，進而得出答案.

試題解析：（1）連接FO，

∵ OF＝OC，

∴ ∠OFC＝∠OCF．

∵CF平分∠ACE，

∴∠FCG＝∠FCE．

∴∠OFC＝∠FCG．

∵ CE是⊙O的直徑，

∴∠EDG＝90°，

又∵FG∥ED，

∴∠FGC＝180°－∠EDG＝90°，

∴∠GFC＋∠FCG＝90°

∴∠GFC＋∠OFC＝90°，

即∠GFO＝90°，

∴OF⊥GF，

又∵OF是⊙O半徑，

∴FG與⊙O相切．

（2）延長FO，與ED交于點H，

由(1)可知∠HFG＝∠FGD＝∠GDH＝90°，

∴四邊形FGDH是矩形．

∴FH⊥ED，

∴HE＝HD．

又∵四邊形FGDH是矩形，F(xiàn)G＝HD，

∴HE＝FG＝4.

∴ED＝8.

∵在Rt△OHE中，∠OHE＝90°，

∴OH＝OE2－HE2＝52－42＝3．

∴FH＝FO＋OH＝5＋3＝8．

S四邊形FGDH＝12(FG＋ED)FH＝12×(4＋8)×8＝48．