Question

（2011•衢州）已知兩直線l₁，l₂分別經(jīng)過點A（1，0），點B（﹣3，0），并且當(dāng)兩直線同時相交于y正半軸的點C時，恰好有l(wèi)₁⊥l₂，經(jīng)過點A、B、C的拋物線的對稱軸與直線l₂交于點K，如圖所示．
（1）求點C的坐標(biāo)，并求出拋物線的函數(shù)解析式；
（2）拋物線的對稱軸被直線l₁，拋物線，直線l₂和x軸依次截得三條線段，問這三條線段有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；
（3）當(dāng)直線l₂繞點C旋轉(zhuǎn)時，與拋物線的另一個交點為M，請找出使△MCK為等腰三角形的點M，簡述理由，并寫出點M的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）解法1：由題意易知：△BOC∽△COA，
∴，
即，
∴，
∴點C的坐標(biāo)是（0，），
由題意，可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為，
把A（1，0），B（﹣3，0）的坐標(biāo)分別代入，
得，
解這個方程組，得，
∴拋物線的函數(shù)解析式為．
解法2：由勾股定理，得（OC²+OB²）+（OC²+OA²）=BC²+AC²=AB²，
又∵OB=3，OA=1，AB=4，
∴，
∴點C的坐標(biāo)是（0，），
由題意可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為y=a（x﹣1）（x+3），把C（0，）代入
函數(shù)解析式得，
所以，拋物線的函數(shù)解析式為；
（2）解法1：截得三條線段的數(shù)量關(guān)系為KD=DE=EF．
理由如下：
可求得直線l₁的解析式為，直線l₂的解析式為，
拋物線的對稱軸為直線x=1，
由此可求得點K的坐標(biāo)為（﹣1，），
點D的坐標(biāo)為（﹣1，），點E的坐標(biāo)為（﹣1，），點F的坐標(biāo)為（﹣1，0），
∴KD=，DE=，EF=，
∴KD=DE=EF．
解法2：截得三條線段的數(shù)量關(guān)系為KD=DE=EF，
理由如下：
由題意可知Rt△ABC中，∠ABC=30°，∠CAB=60°，
則可得，，
由頂點D坐標(biāo)（﹣1，）得，
∴KD=DE=EF=；

（3）當(dāng)點M的坐標(biāo)分別為（﹣2，），（﹣1，）時，△MCK為等腰三角形．
理由如下：
（i）連接BK，交拋物線于點G，易知點G的坐標(biāo)為（﹣2，），
又∵點C的坐標(biāo)為（0，），則GC∥AB，
∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK為正三角形，
∴△CGK為正三角形
∴當(dāng)l₂與拋物線交于點G，即l₂∥AB時，符合題意，此時點M₁的坐標(biāo)為（﹣2，），
（ii）連接CD，由KD=，CK=CG=2，∠CKD=30°，易知△KDC為等腰三角形，
∴當(dāng)l₂過拋物線頂點D時，符合題意，此時點M₂坐標(biāo)為（﹣1，），
（iii）當(dāng)點M在拋物線對稱軸右邊時，只有點M與點A重合時，滿足CM=CK，
但點A、C、K在同一直線上，不能構(gòu)成三角形，
綜上所述，當(dāng)點M的坐標(biāo)分別為（﹣2，），（﹣1，）時，△MCK為等腰三角形．

解析