Question

【題目】若一個三角形一條邊的平方等于另兩條的乘積，我們把這個三角形叫做比例三角形．

（1）已知是比例三角形，，，請直接寫出所有滿足條件的的長；

（2）如圖，在四邊形中，，對角線平分，．求證：是比例三角形；

Answer 1

【答案】（1）當AC=或或時，△ABC是比例三角形；（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)比例三角形的定義，分AB2=BCAC、BC2=ABAC、AC2=ABBC三種情況分別代入計算可得；

（2）先證△ABC∽△DCA得CA2=BC·AD，再由∠ADB=∠CBD=∠ABD知AB=AD即可得．

（1）∵△ABC是比例三角形，且AB=2、BC=3，

①當AB2=BC·AC時，得：4=3AC，解得：AC=；

②當BC2=AB·AC時，得：9=2AC，解得：AC=；

③當AC2=AB·BC時，得：AC2=6，解得：AC=（負值舍去）；

所以當AC=或或時，△ABC是比例三角形；．

（2）∵AD//BC，

∴∠ACB=∠CAD，

又∵∠BAC=∠ADC，

∴△ABC∽△DCA，

∴，即CA2=BC·AD，

∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠CBD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，

∴∠ADB=∠ABD，

∴AB=AD，

∴CA2=BC·AB，

∴△ABC是比例三角形．