Question

【題目】如圖，已知拋物線＝與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且＝．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），分別以、為一邊，在直線的同側(cè)作等邊三角形和，求的最大面積，并寫出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖，若拋物線的對稱軸與軸交于點(diǎn)，是拋物線上位于對稱軸右側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．是否存在點(diǎn)，使與相似？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2），(1，0)；（3）存在，、、或

【解析】

（1）令x=0得，y=4，求出點(diǎn)C（0，4），根據(jù)OB=OC=4，得到點(diǎn)B（4，0）代入拋物線表達(dá)式求出a的值，即可解答；

（2）過點(diǎn)M作MG⊥x軸于G，過點(diǎn)N作NH⊥x軸于H，設(shè)P（x，0），△PMN的面積為S，分別表示出，，，，根據(jù)＝，利用二次函數(shù)的性質(zhì)當(dāng)x=1時(shí)，S有最大值是，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)是；

（3）存在點(diǎn)F，使得△DOE與△AOC相似．有兩種可能情況：①△DOE∽△AOC；②△DOE∽△COA，先求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再求出直線DE的解析式，利用方程組求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，即可解答．

解：（1）令＝得，＝，

∴，

∴＝＝，

∴，

代入拋物線表達(dá)式得：

＝，解得，

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，

（2）如圖，過點(diǎn)作軸于，過點(diǎn)作軸于，

由拋物線得：，

設(shè)，的面積為，

則，，，，

∴＝，

S，

∵，

∴當(dāng)＝時(shí)，有最大值是，

∴的最大面積是，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)是，

（3）存在點(diǎn)，使得與相似．有兩種可能情況：①；②，

由拋物線得：，對稱軸為直線＝，

∴＝，＝，＝，

①若，則，

∴，

解得＝，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)是或，

若點(diǎn)的坐標(biāo)是，

則直線為：＝，

解方程組，

得：，（不合題意，舍去），

此時(shí)滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為，

若點(diǎn)的坐標(biāo)是，

同理可求得滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為，

②若，

同理也可求得滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為，

滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為，

綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為：

、、或．