Question

（2013•石景山區(qū)二模）如圖，拋物線(xiàn)y=-x²+ax+b過(guò)點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），其對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)為C，反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0，k是常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)D．
（1）求拋物線(xiàn)和反比例函數(shù)的解析式．
（2）在線(xiàn)段DC上任取一點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作x軸平行線(xiàn)，交y軸于點(diǎn)F、交雙曲線(xiàn)于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)DF、DG、FC、GC．
①若△DFG的面積為4，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；
②判斷直線(xiàn)FC和DG的位置關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由；
③當(dāng)DF=GC時(shí)，求直線(xiàn)DG的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析：（1）將A與B坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式求出a與b的值，確定出拋物線(xiàn)解析式，以及頂點(diǎn)D坐標(biāo)，將D坐標(biāo)代入反比例解析式求出k的值，即可確定出反比例解析式；
（2）①設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（m，

4

m

），根據(jù)圖形表示出E與F坐標(biāo)，進(jìn)而表示出FG與DE的長(zhǎng)，根據(jù)三角形DFG面積為4列出關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可確定出G坐標(biāo)；
②直線(xiàn)FC和DG的位置關(guān)系為平行，理由為：由C的坐標(biāo)確定出OC的長(zhǎng)，進(jìn)而表示出EC，EG，DE，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩三角形相似得到三角形DEG與三角形FEG相似，由相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線(xiàn)平行即可得證；
③由FC與DG平行，當(dāng)FD=CG時(shí)，有兩種情況：（i）當(dāng)FD∥CG時(shí)，四邊形DFCG是平行四邊形，由上題的比例式及平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分得到m-1=1，求出m的值，確定出G坐標(biāo)，設(shè)直線(xiàn)DG解析式為y=kx+b，將D與G坐標(biāo)代入求出k與b的值，求出此時(shí)直線(xiàn)DG解析式；（ii）當(dāng)FD與CG所在直線(xiàn)不平行時(shí)，四邊形ADCB是等腰梯形，則DC=FG，求出此時(shí)m的值，確定出G坐標(biāo)，設(shè)直線(xiàn)DG解析式為y=mx+n，將D與G坐標(biāo)代入求出m與n的值，求出此時(shí)直線(xiàn)DG解析式，綜上，得到滿(mǎn)足題意直線(xiàn)DG的解析式．

解答：解：（1）∵拋物線(xiàn)y=-x²+ax+b過(guò)點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），
∴

-1-a+b=0 -9a+3a+b=0

，
解得：

a=2 b=3

，
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=-x²+2x+3，頂點(diǎn)D（1，4），
∵函數(shù)y=

k

x

（x＞0，m是常數(shù)）圖象經(jīng)過(guò)D（1，4），
∴k=4，
則反比例解析式為y=

4

x

；
（2）①設(shè)G點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，

4

m

），
據(jù)題意，可得E點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，

4

m

），F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，

4

m

），
∵m＞1，
∴FG=m，DE=4-

4

m

，
由△DFG的面積為4，即

1

2

m（4-

4

m

）=4，得m=3，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（3，

4

3

）；
②直線(xiàn)FC和DG平行．理由如下：
據(jù)題意，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），F(xiàn)E=1，
∵m＞1，易得EC=

4

m

，EG=m-1，DE=4-

4

m

，
∴

GE

EF

=

m-1

1

=m-1，

DE

CE

=

4- 4 m

4 m

=m-1，
∴

GE

EF

=

DE

CE

，
∵∠DEG=∠FEC，
∴△DEG∽△FEC，
∴∠EDG=∠ECF，
∴FC∥DG；
③∵FC∥DG，
∴當(dāng)FD=CG時(shí)，有兩種情況：
（i）當(dāng)FD∥CG時(shí)，四邊形DFCG是平行四邊形，
由上題得

GE

EF

=

DE

CE

=m-1，
∴m-1=1，即m=2，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)是（2，2），
設(shè)直線(xiàn)DG的函數(shù)解析式為y=kx+b，把點(diǎn)D，G的坐標(biāo)代入，得

4=k+b 2=2k+b

，
解得：

k=-2 b=6.

，
∴直線(xiàn)DG的函數(shù)解析式是y=-2x+6；
（ii）當(dāng)FD與CG所在直線(xiàn)不平行時(shí)，四邊形ADCB是等腰梯形，則DC=FG，
∴m=4，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)是（4，1），
設(shè)直線(xiàn)DG的函數(shù)解析式為y=mx+n，
把點(diǎn)D，G的坐標(biāo)代入，得

4=m+n 1=4m+n

，
解得：

m=-1 n=5

，
∴直線(xiàn)DG的函數(shù)解析式是y=-x+5，
綜上所述，所求直線(xiàn)DG的函數(shù)解析式是y=-2x+6或y=-x+5．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形及梯形的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．