Question

【題目】如圖1,在中,于點的垂直平分線交于點,交于點,，．

(1)如圖2,作于點,交于點,將沿方向平移,得到，連接．

①求四邊形的面積；

②直線上有一動點,求周長的最小值．

(2)如圖3．延長交于點．過點作,過邊上的動點作,并與交于點,將沿直線翻折,使點的對應(yīng)點恰好落在直線上,求線段的長．

Answer 1

【答案】(1)①；②周長的最小值為9；(2)的長為或．

【解析】（1）①根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及平移的性質(zhì)進行解答即可；

②連接CM交直線EF于點N，連接DN，利用勾股定理解答即可；

（2）分點P在線段CE上和點P在線段ED上兩種情況進行解答．

（1）①在ABCD中，AB=6，直線EF垂直平分CD，

∴DE=FH=3，

又BF：FA=1：5，

∴AH=2，

∵Rt△AHD∽Rt△MHF，

∴，即，

∴HM=1.5，

根據(jù)平移的性質(zhì)，MM'=CD=6，連接BM，如圖1，

四邊形BHMM′的面積=×6×1.5+×4×1.5＝7.5；

②連接CM交直線EF于點N，連接DN，如圖2，

∵直線EF垂直平分CD，

∴CN=DN，

∵MH=1.5，

∴DM=2.5，

在Rt△CDM中，MC2=DC2+DM2，

∴MC2=62+（2.5）2，

即MC=6.5，

∵MN+DN=MN+CN=MC，

∴△DNM周長的最小值為9．

（2）∵BF∥CE，

∴，

∴QF=2，

∴PK=PK'=6，

過點K'作E'F'∥EF，分別交CD于點E'，交QK于點F'，如圖3，

當(dāng)點P在線段CE上時，

在Rt△PK'E'中，

PE'2=PK'2-E'K'2，

∴PE′＝2，

∵Rt△PE'K'∽Rt△K'F'Q，

∴，即，

解得：QF′＝，

∴PE=PE'-EE'=2＝，

∴CP＝，

同理可得，當(dāng)點P在線段DE上時，CP′＝，如圖4，

綜上所述，CP的長為或．