Question

【題目】如圖，拋物線 與x軸交于兩點A（﹣4，0）和B（1，0），與y軸交于點C（0，2），動點D沿△ABC的邊AB以每秒2個單位長度的速度由起點A向終點B運動，過點D作x軸的垂線，交△ABC的另一邊于點E，將△ADE沿DE折疊，使點A落在點F處，設點D的運動時間為t秒．

（1）求拋物線的解析式和對稱軸；
（2）是否存在某一時刻t，使得△EFC為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
（3）設四邊形DECO的面積為s，求s關于t的函數表達式．

Answer 1

【答案】
（1）解：把A（﹣4，0），B（1，0），點C（0，2）代入 得： ，解得： ，
∴拋物線的解析式為： ，
對稱軸為：直線x=﹣ ；
（2）解：存在，∵AD=2t，
∴DF=AD=2t，
∴OF=4﹣4t，
∴D（2t﹣4，0），
∵直線AC的解析式為： ，∴E（2t﹣4，t），
∵△EFC為直角三角形，分三種情況討論：
① 當∠EFC=90°，則△DEF∽△OFC，
∴ ，即 ，解得：t= ；
②當∠FEC=90°，
∴∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴DE= AF，即t=2t，
∴t=0，（舍去），
③當∠ACF=90°，則AC2+CF2=AF2 ， 即（42+22）+[22+（4t﹣4）2]=（4t）2 ， 解得：t= ，
∴存在某一時刻t，使得△EFC為直角三角形，此時，t= 或 ；
（3）解：∵B（1，0），C（0，2），
∴直線BC的解析式為：y=﹣2x+2，
當D在y軸的左側時，S= （DE+OC）OD= （t+2）（4﹣2t）=﹣t2+4 （0＜t＜2）；
當D在y軸的右側時，如圖2，

∵OD=4t﹣4，DE=﹣8t+10，S= （DE+OC）OD= （﹣8t+10+2）（4t﹣4），即 （2＜t＜ ）．
綜上所述：
【解析】（1）（1）利用待定系數法，將點A、B、C的坐標代入函數解析式，建立方程組求解即可。
（2）根據題意分別求出AD、DF、OF的長，表示出點D的坐標，利用待定系數法求出直線BC的函數解析式，表示出點E的坐標，再分三種情況討論△EFC為直角三角形：① 當∠EFC=90°，則△DEF∽△OFC，根據相似三角形的性質，列出關于t的方程求解即可；②∠FEC=90°，∠AEF=90°，△AEF是等腰直角三角形求出t的值即可；③當∠ACF=90°，則AC2+CF2=AF2 ， 建立關于t的方程求解即可，從而可得出答案。
（3）求得直線BC的解析式為：y=-2x+2，當D在y軸的左側時，當D在y軸的右側時，如圖2，根據梯形的面積公式即可得到結論。