Question

如圖1，在直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為(1，0)，以O(shè)A為邊在第一象限內(nèi)作正方形OABC，點D是軸正半軸上一動點（OD＞1）,連結(jié)BD，以BD為邊在第一象限內(nèi)作正方形DBFE，設(shè)M為正方形DBFE的中心，直線MA交軸于點N．如果定義：只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形．

（1）試找出圖1中的一個損矩形；

（2）試說明(1)中找出的損矩形的四個頂點在同一個圓上；

（3）隨著點D位置的變化，點N的位置是否會發(fā)生變化？若沒有發(fā)生變化，求出點N的坐標(biāo)；若發(fā)生變化，請說明理由；

（4）在圖2中，過點M作MG⊥軸于點G，連結(jié)DN，若四邊形DMGN為損矩形，求D點坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

(1)四邊形ABMD為損矩形；（2）見解析；（3）（0，-1）；（4）(3，0)

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題中給出的損矩形的定義，從圖找出只有一組對角是直角的四邊形即可；

（2）證明四邊形BADM四個頂點到BD的中點距離相等即可；

（3）利用同弧所對的圓周角相等可得∠MAD=∠MBD，進(jìn)而得到OA=ON，即可求得點N的坐標(biāo)；

（4）根據(jù)正方形的性質(zhì)及損矩形含有的直角，利用勾股定理求解．

(1)四邊形ABMD為損矩形；

(2)取BD中點H，連結(jié)MH，AH

∵四邊形OABC，BDEF是正方形

∴△ABD，△BDM都是直角三角形

∴HA=BD   HM=BD

∴HA=HB=HM=HD=BD

∴損矩形ABMD一定有外接圓

(3)∵損矩形ABMD一定有外接圓⊙H

∴MAD =MBD    

∵四邊形BDEF是正方形

∴MBD=45°

∴MAD=45°

∴OAN=45°

∵OA=1 

∴ON=1   

∴N點的坐標(biāo)為（0，-1）

(4) 延長AB交MG于點P，過點M作MQ⊥軸于點Q

設(shè)MG=，則四邊形APMQ為正方形

∴PM=AQ=-1  ∴OG=MQ=-1

∵△MBP≌△MDQ

∴DQ=BP=CG=-2

∴MN²

ND²

MD²

∵四邊形DMGN為損矩形

∴

∴ 

∴=2.5或=1(舍去)      

∴OD=3  

∴D點坐標(biāo)為(3，0).

考點：本題考查的是確定圓的條件，正方形的性質(zhì)

點評：解答本題的關(guān)鍵是理解損矩形的只有一組對角是直角的性質(zhì)，