Question

【題目】如圖，直線y＝﹣x+1與x軸，y軸分別交于A，B兩點，拋物線y＝ax2+bx+c過點B，并且頂點D的坐標為（﹣2，﹣1）．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若拋物線與直線AB的另一個交點為F，點C是線段BF的中點，過點C作BF的垂線交拋物線于點P，Q，求線段PQ的長度；

（3）在（2）的條件下，點M是直線AB上一點，點N是線段PQ的中點，若PQ＝2MN，直接寫出點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x+1；（2）5；（3）M（，﹣）或（﹣，）

【解析】

（1）先求出點B坐標，再將點D，B代入拋物線的頂點式即可；

（2）如圖1，過點C作CH⊥y軸于點H，先求出點F的坐標，點C的坐標，再求出直線CM的解析式，最后可求出兩個交點及交點間的距離；

（3）設(shè)M（m，﹣m+1），如圖2，取PQ的中點N，連接MN，證點P，M，Q同在以PQ為直徑的圓上，所以∠PMQ＝90°，利用勾股定理即可求出點M的坐標．

解：（1）在y＝﹣x+1中，

當x＝0時，y＝1，

∴B（0，1），

∵拋物線y＝ax2+bx+c過點B，并且頂點D的坐標為（﹣2，﹣1），

∴可設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+2）2﹣1，

將點B（0，1）代入，

得，a＝，

∴拋物線的解析式為：y＝（x+2）2﹣1＝x2+2x+1；

（2）聯(lián)立，

解得，或，

∴F（﹣5，），

∵點C是BF的中點，

∴xC＝＝﹣，yC＝＝，

∴C（﹣，），

如圖1，過點C作CH⊥y軸于點H，

則∠HCB+∠CBH＝90°，

又∵∠MCH+∠HCB＝90°，

∴∠CBH＝∠MCH，

又∠CHB＝∠MHC＝90°，

∴△CHB∽△MHC，

∴＝，

即＝，

解得，HM＝5，

∴OM＝OH+MH＝+5＝，

∴M（0，），

設(shè)直線CM的解析式為y＝kx+，

將C（﹣，）代入，

得，k＝2，

∴yCM＝2x+，

聯(lián)立2x+＝x2+2x+1，

解得，x1＝，x2＝﹣，

∴P（，5+），Q（﹣，﹣5+），

∴PQ＝＝5；

（3）∵點M在直線AB上，

∴設(shè)M（m，﹣m+1），

如圖2，取PQ的中點N，連接MN，

∵PQ＝2MN，

∴NM＝NP＝NQ，

∴點P，M，Q同在以PQ為直徑的圓上，

∴∠PMQ＝90°，

∴MP2+MQ2＝PQ2，

∴+ ＝（5）2，

解得，m1＝，m2＝﹣，

∴M（，﹣）或（﹣，）．