Question

如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，4），且經(jīng)過點(diǎn)N（2，3），與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）若直線y=kx+t經(jīng)過C、M兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)D，試證明四邊形CDAN是平行四邊形；
（3）點(diǎn)P在拋物線的對稱軸x=1上運(yùn)動，請?zhí)剿鳎涸趚軸上方是否存在這樣的P點(diǎn)，使以P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，并且與直線CD相切？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意中，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)與N的坐標(biāo)，可得拋物線的解析式，進(jìn)而可得點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）分別求出過DM的直線，與過點(diǎn)AN的直線方程，可得DM與AN平行，且易得DM與AN相等；故四邊形CDAN是平行四邊形；
（3）首先假設(shè)存在，根據(jù)題意，題易得：△MDE為等腰直角三角形，進(jìn)而可求得P的坐標(biāo)，故存在P．

解答：（1）解：由拋物線的頂點(diǎn)是M（1，4），
設(shè)解析式為y=a（x-1）²+4（a＜0）
又拋物線經(jīng)過點(diǎn)N（2，3），
所以3=a（2-1）²+4，
解得a=-1
所以所求拋物線的解析式為y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3
令y=0，得-x²+2x+3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
得A（-1，0）B（3，0）；
令x=0，得y=3，
所以C（0，3）．

（2）證明：直線y=kx+t經(jīng)過C、M兩點(diǎn)，
所以

t=3 k+t=4

即k=1，t=3，
直線解析式為y=x+3．
令y=0，得x=-3，
故D（-3，0），即OD=3，又OC=3，
∴在直角三角形COD中，根據(jù)勾股定理得：CD=

OD2+OC2

=3

2

．
連接AN，過N做x軸的垂線，垂足為F．
設(shè)過A、N兩點(diǎn)的直線的解析式為y=mx+n，
則

-m+n=0 2m+n=3

，
解得m=1，n=1
所以過A、N兩點(diǎn)的直線的解析式為y=x+1
所以DC∥AN．在Rt△ANF中，AF=3，NF=3，
所以AN=3

2

，
所以DC=AN．
因此四邊形CDAN是平行四邊形．

（3）解：假設(shè)在x軸上方存在這樣的P點(diǎn)，使以P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，并且與直線CD相切，
設(shè)P（1，u）其中u＞0，
則PA是圓的半徑且PA²=u²+2²過P做直線CD的垂線，垂足為Q，則PQ=PA時(shí)以P為圓心的圓與直線CD相切．
由第（2）小題易得：△MDE為等腰直角三角形，故△PQM也是等腰直角三角形，
由P（1，u）得PE=u，PM=|4-u|，PQ=

PM

2

=

|4-u|

2

由PQ²=PA²得方程：

(4-u)2

2

=u²+2²，
解得u=-4±2

6

，舍去負(fù)值u=-4-2

6

，符合題意的u=-4+2

6

，
所以，滿足題意的點(diǎn)P存在，其坐標(biāo)為（1，-4+2

6

）．

點(diǎn)評：本題考查學(xué)生將二次函數(shù)的圖象與解析式相結(jié)合處理問題、解決問題的能力．