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        1. (2004•荊門)如圖,在直角坐標(biāo)系中,以點(diǎn)P(1,-1)為圓心,2為半徑作圓,交x軸于A、B兩點(diǎn),拋物線y=ax2+bx+c(a>0)過點(diǎn)A、B,且頂點(diǎn)C在⊙P上.
          (1)求⊙P上劣弧AB的長;
          (2)求拋物線的解析式;
          (3)在拋物線上是否存在一點(diǎn)D,使線段OC與PD互相平分?若存在,求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

          【答案】分析:(1)求劣弧AB的長,就要先知道劣弧AB所對的圓心角的度數(shù).過P作AB的垂線設(shè)垂足為M,那么在Rt△PMB中,根據(jù)圓的半徑及P點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可求出∠BPM的度數(shù),也就能求出∠APB的度數(shù).然后根據(jù)弧長公式即可求出劣弧AB的長;
          (2)在Rt△PMB中,根據(jù)PB即半徑的長以及PM即P點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對值即可求出BM的長,也就求出了AB的值,由于A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線x=1對稱,由此可確定A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo).根據(jù)圓和拋物線的對稱性,C點(diǎn)必在直線PM上,根據(jù)P點(diǎn)的坐標(biāo)和圓的半徑的長即可得出C點(diǎn)的坐標(biāo).根據(jù)求出的A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo),可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;
          (3)根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)可知:當(dāng)線段OC與PD互相平分時(shí),四邊形OPCD是平行四邊形,因此D點(diǎn)在y軸上,且OD=PC=2,因此D點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-2)然后代入拋物線的解析式中即可判斷出D是否在拋物線上.
          解答:解:(1)如圖,連接PB,過P作PM⊥x軸,垂足為M,
          在Rt△PMB中,PB=2,PM=1,
          ∴∠MPB=60°,
          ∴∠APB=120°
          的長=;

          (2)在Rt△PMB中,PB=2,PM=1,則MB=MA=,又OM=1,
          ∴A(1-,0),B(1+,0),
          由拋物線及圓的對稱性得知點(diǎn)C在直線PM上,
          則C(1,-3).
          點(diǎn)A、B、C在拋物線上,則
          解之得,
          ∴拋物線解析式為y=x2-2x-2;

          (3)假設(shè)存在點(diǎn)D,使OC與PD互相平分,則四邊形OPCD為平行四邊形,且PC∥OD,
          又PC∥y軸,
          ∴點(diǎn)D在y軸上,
          ∴OD=2,即D(0,-2),
          又點(diǎn)D(0,-2)在拋物線y=x2-2x-2上,
          故存在點(diǎn)D(0,-2),使線段OC與PD互相平分.
          點(diǎn)評:本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、弧長計(jì)算公式、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn),綜合性強(qiáng),考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
          練習(xí)冊系列答案
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          C.②③
          D.①②③

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          (2)求拋物線的解析式;
          (3)在拋物線上是否存在一點(diǎn)D,使線段OC與PD互相平分?若存在,求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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