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        1. 【題目】如圖,AB⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點E,過點C的切線交AB的延長線于點F,連接DF.

          (1)求證:DF⊙O的切線;

          (2)連接BC,若∠BCF=30°,BF=2,求CD的長.

          【答案】(1)見解析;(2)2.

          【解析】

          (1) 連接OD, 直徑AB⊥弦CD,可得CE=ED,即OFCD的垂直平分線,可得DF是⊙O的切線;

          (2) 由∠BCF=30°,BF=2,可得△OCB為等邊三角形,在RtOCE中可求得CE的長進(jìn)而求得CD的長.

          (1)證明:連接OD,如圖,

          ∵CF⊙O的切線

          ∴∠OCF=90°,

          ∴∠OCD+∠DCF=90°

          直徑AB⊥CD,

          ∴CE=ED,即OFCD的垂直平分線

          ∴CF=DF,

          ∴∠CDF=∠DCF,

          ∵OC=OD,

          ∴∠CDO=∠OCD

          ∴∠CDO+∠CDB=∠OCD+∠DCF=90°,

          ∴OD⊥DF,

          ∴DF⊙O的切線;

          (2)解:∵∠OCF=90°,∠BCF=30°,

          ∴∠OCB=60°,

          ∵OC=OB,

          ∴△OCB為等邊三角形,

          ∴∠COB=60°,

          ∴∠CFO=30°

          ∴FO=2OC=2OB,

          ∴FB=OB=OC=2,

          Rt△OCE中,∵∠COE=60°,

          ∴OE=OC=1,

          ∴CE=OE=,

          ∴CD=2CE=

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          (2)以格點P為旋轉(zhuǎn)中心,將△ABC按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,得到△A′B′C′,且使點A的對應(yīng)點A′的恰好落在△A1B1C1的內(nèi)部格點上(不含△A1B1C1的邊上),寫出點P的坐標(biāo),并畫出旋轉(zhuǎn)后的△A′B′C′.

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