Question

如圖，將拋物線y=-

1

2

（x-1）²+

9

2

與x軸交于A、B，點C（2，m）在拋物線上，點P在y軸的正半軸上，且△BCP為等腰三角形，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：將C坐標(biāo)代入拋物線解析式求出m的值，確定出點C坐標(biāo)；然后分類討論：BC為底和BC為腰兩種情況下的點P的坐標(biāo)．

解答：解：令y=0，則-

1

2

（x-1）²+

9

2

=0，
解得，x=4或x=-2．
如圖所示，A（-2，0），B（4，0）．
把C（2，m）代入拋物線解析式，得到：m=-

1

2

（2-1）²+

9

2

=4，則C（2，4）．
∴BC=

(4-2)2+42

=2

5

∵P在y軸的正半軸上，∴設(shè)P（0，y）（y＞0）．
①當(dāng)BC=PC時，

(-2)2+(y-4)2

=2

5

，
解得，y=8或y=0（都不合題意，舍去），
②當(dāng)BC=PB時，

(0-4)2+y2

=2

5

，
解得，y=2或y=-2（不合題意，舍去）．
則P（0，2）；
③當(dāng)PC=PB時，

(-2)2+(y-4)2

=

(0-4)2+y2

，解得，y=

1

2

．則P（0，

1

2

）．
綜上所述，符合題意的點P的坐標(biāo)是：（0，2），（0，

1

2

）．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點．解題時，要根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，進行分類討論，以防漏解．