Question

如圖，直線y=kx+k（k≠0）與雙曲線交于C、D兩點，與x軸交于點A．
（1）求n的取值范圍和點A的坐標(biāo)；
（2）過點C作CB⊥y軸，垂足為B，若S_△ABC=4，求雙曲線的解析式；
（3）在（1）（2）的條件下，若AB=，求點C和點D的坐標(biāo)，并根據(jù)圖象直接寫出反比例函數(shù)的值小于一次函數(shù)的值時，自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由反比例函數(shù)圖象位于第二、四象限，得到比例系數(shù)小于0列出關(guān)于n的不等式，求出不等式的解集即可得到n的范圍，對于直線解析式，令y=0求出x的值，確定出A的坐標(biāo)即可；
（2）設(shè)C（a，b），表示出三角形ABC的面積，根據(jù)已知的面積列出關(guān)于a與b的關(guān)系式，利用反比例函數(shù)k的幾何意義即可求出k的值，確定出反比例解析式；
（3）由CB垂直于y軸，得到B，C縱坐標(biāo)相同，即B（0，b），在直角三角形AOB中，由AB與OA的長，利用勾股定理求出OB的長，確定出B坐標(biāo)，進(jìn)而確定出C坐標(biāo)，將C代入直線解析式求出k的值，確定出一次函數(shù)解析式，與反比例解析式聯(lián)立求出D的坐標(biāo)，由C，D兩點的橫坐標(biāo)，利用圖象即可求出反比例函數(shù)的值小于一次函數(shù)的值時，自變量x的取值范圍．
解答：解：（1）由圖象得：n+1＜0，
解得：n＜-1，
由y=kx+k，令y=0，解得：x=-1，
則A坐標(biāo)為（-1，0）；

（2）設(shè)C（a，b），
∵S_△ABC=a•（-b）=4，
∴ab=-8，
∵點C在雙曲線上，
∴y=-；

（3）∵CB⊥y軸，∴B（0，b），
在Rt△AOB中，AB=，OA=1，
根據(jù)勾股定理得：OB=4，
∴B（0，-4），
∴C（2，-4），
將C代入直線y=kx+k中，得：2k+k=-4，即k=-，
∴直線AC解析式為y=-x-，
聯(lián)立直線與反比例解析式得：，
解得：或，
∴D（-3，），
則由圖象可得：當(dāng)x＜-3或0＜x＜2時，反比例函數(shù)的值小于一次函數(shù)的值．
點評：此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，利用了待定系數(shù)法，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．