Question

如圖，點(diǎn)A（m，m+1），B（m+3，m-1）都在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上．
（1）求m，k的值；
（2）如果M為x軸上一點(diǎn)，N為y軸上一點(diǎn)，以點(diǎn)A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，試求直線MN的函數(shù)表達(dá)式；
（3）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，3），把線段PQ向右平移4個(gè)單位，然后再向上平移2個(gè)單位，得到線段P₁Q₁，則點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為

 

，點(diǎn)Q₁的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

分析：（1）直接把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式中就可以得到關(guān)于m的方程，解方程即可；
（2）存在兩種情況：當(dāng)M點(diǎn)在x軸的正半軸上，N點(diǎn)在y軸的正半軸上時(shí)和當(dāng)M點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，N點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上時(shí)．無(wú)論哪種情況都可以利用平移知識(shí)求出M、N的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定直線MN的解析式；
（3）這個(gè)問題比較簡(jiǎn)單，直接根據(jù)平移過程可以得到P₁，Q₁的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意可知，m（m+1）=（m+3）（m-1），解得m=3，
∴A（3，4），B（6，2），
∴k=4×3=12；

（2）存在兩種情況，如圖：
①當(dāng)M點(diǎn)在x軸的正半軸上，N點(diǎn)在y軸的正半軸上時(shí)，設(shè)M₁點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，0），N₁點(diǎn)坐標(biāo)為（0，y₁），
∵四邊形AN₁M₁B為平行四邊形，
∴線段N₁M₁可看作由線段AB向左平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位得到的（也可看作向下平移2個(gè)單位，再向左平移3個(gè)單位得到的），
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4），B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，2），
∴N₁點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4-2），即N₁（0，2），
M₁點(diǎn)坐標(biāo)為（6-3，0），即M₁（3，0），
設(shè)直線M₁N₁的函數(shù)表達(dá)式為y=k₁x+2，把x=3，y=0代入，解得k₁=-

2

3

，
∴直線M₁N₁的函數(shù)表達(dá)式為y=-

2

3

x+2；

②當(dāng)M點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，N點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，設(shè)M₂點(diǎn)坐標(biāo)為（x₂，0），N₂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，y₂），
∵AB∥N₁M₁，AB∥M₂N₂，AB=N₁M₁，AB=M₂N₂，
∴N₁M₁∥M₂N₂，N₁M₁=M₂N₂，
∴線段M₂N₂與線段N₁M₁關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱，
∴M₂點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），N₂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），
設(shè)直線M₂N₂的函數(shù)表達(dá)式為y=k₂x-2，
把x=-3，y=0代入，解得k₂=-

2

3

，
∴直線M₂N₂的函數(shù)表達(dá)式為y=-

2

3

x-2，
∴直線MN的函數(shù)表達(dá)式為y=-

2

3

x+2或y=-

2

3

x-2；

（3）根據(jù)題意P點(diǎn)坐標(biāo)（5+4，0+2）即（9，2），同理得Q（4，5）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)解析式，也利用了坐標(biāo)平移的知識(shí)．