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        1. (2013•大港區(qū)一模)將一矩形紙片OABC放在直角坐標系中,O為原點,C在x軸上,OA=6,OC=10.

          (1)如圖(1),在OA上取一點E,將△EOC沿EC折疊,使O點落在AB邊上的D點,求E點的坐標;
          (2)如圖(2),在OA、OC邊上選取適當?shù)狞cE′、F,將△E′OF沿E′F折疊,使O點落在AB邊上D′點,過D′作D′G∥AO交E′F于T點,交OC于G點,求證:TG=AE′;
          (3)在(2)的條件下,設(shè)T(x,y).①探求:y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.②指出變量x的取值范圍.
          分析:(1)先根據(jù)折疊的性質(zhì)得出DC=OC=10,在Rt△BCD中,運用矩形的性質(zhì)及勾股定理得出BD=8,然后在Rt△AED中,由勾股定理得OE2=22+(6-OE)2,解方程求出OE的長,進而求出點E的坐標;
          (2)先由折疊的性質(zhì)得出∠D′E′F=∠OE′F,由平行線的性質(zhì)得出∠OE′F=∠D′TE′,則∠D′E′F=∠D′TE′,根據(jù)等角對等邊得到D′T=D′E′=OE′,則TG=AE′;
          (3)①由T(x,y),得出AD′=x,TG=AE′=y,D′T=D′E′=OE′=6-y,在Rt△AD′E′中,根據(jù)勾股定理得出AD′2+AE′2=D′E′2,即x2+y2=(6-y)2,整理可求出y與x的函數(shù)關(guān)系式;
          ②在(1)中給出的情況就是x的最小值的狀況,可根據(jù)AD的長求出x的最小值,當x取最大值時,E′F平分∠OAB,即E′與A重合,四邊形AOFD′為正方形,可據(jù)此求出此時x的值,有了x的最大和最小取值即可求出x的取值范圍.
          解答:解:(1)如圖(1),∵將△EOC沿EC折疊,使O點落在AB邊上的D點,
          ∴DC=OC=10.
          在Rt△BCD中,∵∠B=90°,BC=OA=6,DC=10,
          ∴BD=
          DC2-BC2
          =8.
          在Rt△AED中,∵∠DAE=90°,AD=2,DE=OE,AE=6-OE,
          ∴DE2=AD2+AE2,即OE2=22+(6-OE)2,
          解得 OE=
          10
          3
          ,
          ∴E點的坐標為(0,
          10
          3
          );

          (2)如圖(2),∵將△E′OF沿E′F折疊,使O點落在AB邊上D′點,
          ∴∠D′E′F=∠OE′F,D′E′=OE′,
          ∵D′G∥AO,
          ∴∠OE′F=∠D′TE′,
          ∴∠D′E′F=∠D′TE′,
          ∴D′T=D′E′=OE′,
          ∴TG=AE′;

          (3)①∵T(x,y),
          ∴AD′=x,TG=AE′=y,D′T=D′E′=OE′=6-y.
          在Rt△AD′E′中,∵∠D′AE′=90°,
          ∴AD′2+AE′2=D′E′2,即x2+y2=(6-y)2,
          整理,得y=-
          1
          12
          x2+3;

          ②結(jié)合(1)可得AD′=OG=2時,x最小,從而x≥2,
          當E′F恰好平分∠OAB時,AD′最大即x最大,
          此時G點與F點重合,四邊形AOFD′為正方形,即x最大為6,從而x≤6,
          故變量x的取值范圍是2≤x≤6.
          點評:本題考查了圖形的翻折變換,矩形的性質(zhì),勾股定理,平行線的性質(zhì),等腰三角形的判定,函數(shù)解析式的求法等知識,綜合性較強,難度適中,主要運用數(shù)形結(jié)合的思想方法.
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          (2013•大港區(qū)一模)化簡:
          8
          12
          =
          4
          6
          4
          6

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          a
          a2-b2
          -
          1
          a+b
          =
          b
          a2-b2
          b
          a2-b2

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          1
          6
          1
          6

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