Question

【題目】如圖，AB是半⊙O的直徑，點C，D為半圓O上的點，AE||OD，過點D的⊙O的切線交AC的延長線于點E，M為弦AC中點

（1）填空：四邊形ODEM的形狀是　 　；

（2）①若，則當k為多少時，四邊形AODC為菱形，請說明理由；

②當四邊形AODC為菱形時，若四邊形ODEM的面積為4，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）四邊形AODC為菱形，見解析；（2）①當k為1時，四邊形AODC為菱形．理由見解析；②⊙O的半徑為2．

【解析】

（1）運用切線定理、垂徑定理、平行線的性質證明四個角均為90°，即可說明四邊形ODEM為矩形；

（2）①當k為1時，四邊形AODC為菱形．連接CD，CO．由四邊形AODC為菱形，可得AO＝OD＝CD＝AC，由OM垂直平分AC，得到OA＝OC，所以OA＝OC＝AC，因此△OAC為等邊三角形，于是∠CAO＝60°，∠CDO＝60°，∠ECD＝30°，

所以CE＝CD＝AC，又CM＝AC，因此CE＝CM，即

＝1，所以當k為1時，四邊形AODC為菱形；

②由四邊形ODEM的面積為4，可知ODMO＝43，由①四邊形AODC為菱形時，∠MAO＝60°，所以＝sin∠MAO＝sin60°，MO＝AOsin60°＝AO，因此ODMO＝OA

OA＝4，所以OA＝2.

（1）∵DE是⊙O的切線，

∴OD⊥DE，∠ODE＝90°，

∵M為弦AC中點，

∴OM⊥AC，∠OME＝90°，

∵AE||OD，

∴∠E＝90°，∠MOD＝90°，

∴四邊形ODEM是矩形；

（2）①當k為1時，四邊形AODC為菱形．

理由如下：

連接CD，CO．

∵四邊形AODC為菱形，

∴AO＝OD＝CD＝AC，

∵OM垂直平分AC，

∴OA＝OC，

∴OA＝OC＝AC，

∴△OAC為等邊三角形，

∴∠CAO＝60°，∠CDO＝60°，

∴∠ECD＝30°，

∴CE＝CD＝AC，

∵CM＝AC，

∴CE＝CM，

∴ ，

當k為1時，四邊形AODC為菱形；

②∵四邊形ODEM的面積為 ，

∴ODMO＝，

由①四邊形AODC為菱形時，∠MAO＝60°，

∴ ，MO＝AOsin60°＝AO，

∴ODMO＝ ，

∴OA＝2，

∴⊙O的半徑為2．