Question

（2004•岳陽）如圖，⊙O₁與⊙O₂外切于P點，過⊙O₁上一點B作⊙O₁的切線，交⊙O₂于C、D，直線BP交⊙O₂于點A．
（1）求證：∠CBP=∠ADP；
（2）求證：AD²+BC•BD=AB²；
（3）設(shè)⊙O₂的面積為S₂，⊙O₁的面積為S₁；且S₂：S₁=9：1，當(dāng)AD=，求BP的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題可利用兩圓外切的條件進(jìn)行求解，過P作兩圓的公切線，交BD于M．由于MP，MB同為⊙O₁的切線，不難得出∠MBP=∠MPB，而∠MPB=∠NPA，根據(jù)弦切角定理又可得出∠NPA=∠ADP，將相等的角進(jìn)行置換后即可得出所求的結(jié)論；
（2）所求的線段中，BC•BD=BP•AB，將BC•BD移到等號右邊可得出AB²-BC•DB=AB²-BP•AB=AB（AB-BP）=AB•AP，因此只需證明AD²=AB•PA即可，即證明△ADP和△ABD相似．這兩個三角形中已知了一個公共角和（1）得出的一組相等角因此兩三角形相似，由此得證；
（3）根據(jù)兩圓的面積比可知兩圓的半徑比為3：1，要想利用這個條件需要構(gòu)建相似三角形．連接O₁O₂，O₁B，O₂A，不難得出△AO₂P∽△BO₁P，因此BP與AP的比例關(guān)系正好等于兩圓的半徑比，在根據(jù)（2）中證得的AD²=AP•AB即可求出BP的長．
解答：（1）證明：過D點作兩圓的公切線PN交BD于M
∴∠CBD=∠MPB=∠APN
又∵M(jìn)N為⊙O₂的切線
∴∠ADP=∠APN
∴∠CBD=∠ADP；

（2）證明：連接PC
由切割定理得BC•BD=BP•AB
由（1）可知∠CBD=∠ADP
又∵∠A公共
∴△ADP∽△ABD
∴
∴AD²=AB•AP=AB•（AB-BP）=AB²-AB•BP
∴AD²=AB²-BC•BD
即AD²+BC•BD=AB²；

（3）解：設(shè)⊙O₂的半徑為R，⊙O₁的半徑為r
∴=
∴R：r=3：1
連接AO₂，BO₁，O₁O₂，則O₁O₂經(jīng)過P點
∴△AO₂P∽△BO₁P
∴
設(shè)BP=x
∴AP=3x
從而AB=4x
∵AD²=AP•AB
∴（4）²=3x•4x
∴x=1，即BP=1．
點評：本題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、切割線定理等知識點．本題的綜合性較強(qiáng)．