Question

如圖所示，二次函數(shù)y=-x²+2x+m的圖象與x軸的一個交點為A（3，0），另一個交點為B，且與y軸交于點C．
（1）求m的值；
（2）求點B的坐標；
（3）該二次函數(shù)圖象上有一點D（x，y）（其中x＞0，y＞0）使S_△ABD=S_△ABC，求點D的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）由二次函數(shù)y=-x²+2x+m的圖象與x軸的一個交點為A（3，0），利用待定系數(shù)法將點A的坐標代入函數(shù)解析式即可求得m的值；
（2）根據(jù)（1）求得二次函數(shù)的解析式，然后將y=0代入函數(shù)解析式，即可求得點B的坐標；
（3）根據(jù)（2）中的函數(shù)解析式求得點C的坐標，由二次函數(shù)圖象上有一點D（x，y）（其中x＞0，y＞0），可得點D在第一象限，又由S_△ABD=S_△ABC，可知點D與點C的縱坐標相等，代入函數(shù)的解析式即可求得點D的坐標．
解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=-x²+2x+m的圖象與x軸的一個交點為A（3，0），
∴-9+2×3+m=0，
解得：m=3；

（2）∵二次函數(shù)的解析式為：y=-x²+2x+3，
∴當y=0時，-x²+2x+3=0，
解得：x=3或x=-1，
∴B（-1，0）；

（3）如圖，連接BD、AD，過點D作DE⊥AB，
∵當x=0時，y=3，
∴C（0，3），
若S_△ABD=S_△ABC，
∵D（x，y）（其中x＞0，y＞0），
則可得OC=DE=3，
∴當y=3時，-x²+2x+3=3，
解得：x=0或x=2，
∴點D的坐標為（2，3）．
點評：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，考查了一元二次方程的解法以及三角形的面積問題等知識．此題綜合性較強，但難度不大，屬于中檔題，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應用．