Question

【題目】如圖，△ABC是一塊等邊三角形的廢鐵片，其中AB=AC=10，BC=12．利用其剪裁一個正方形DEFG，使正方形的一條邊DE落在BC上，頂點F． G分別落在AC、AB上．

（1）小聰想：要畫出正方形DEFG，只要能計算出正方形的邊長就能求出BD和CE的長，從而確定D點和E點，再畫正方形DEFG就容易了．請你幫小聰求出正方形的邊長．

（2）小明想：不求正方形的邊長也能畫出正方形．具體作法是：

①在AB邊上任取一點G′，如圖2作正方形G′D′E′F′；

②連接BF′并延長交AC于點F；

③過點F作FE∥F′E′交BC于點E，FG∥F′G′交AB于點G，GD∥G′D′交BC于點D，則四邊形DEFG即為所求的正方形．你認為小明的作法正確嗎？說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）正確，理由見解析

【解析】

（1）設(shè)正方形的邊長為，作的高，可以求出的長，然后根據(jù)利用其對應(yīng)邊成比例可以列出關(guān)于的方程，然后求出，也就求出了正方形邊長；

（2）首先作一個正方形，然后利用位似圖形作圖就可以得到正方形，利用作法中的平行線可以得到比例線段，再根據(jù)比例線段就可以證明所作的圖形是正方形了．

解：（1）設(shè)正方形的邊長為，作的高，

等腰三角形，，，

，

，

，

，

，

解之得：，

正方形的邊長為；

（2）正確，

由已知可知，四邊形為矩形，

，

△，

，

同理

，

又，

矩形為正方形．