Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2，3)，點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上,且AC=6.

(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo).

(2)在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得S△POB=S△ABC若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)把點(diǎn)C往上平移3個(gè)單位得到點(diǎn)H，作射線CH,連接BH，點(diǎn)M在射線CH上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)C、H重合).試探究∠HBM，∠BMA，∠MAC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】(1)C(-2，0)；(2)點(diǎn)P坐標(biāo)為(0，6)或(0，-6)；(3)∠BMA=∠MAC±∠HBM，證明見(jiàn)解析.

【解析】

(1)由點(diǎn)A坐標(biāo)可得OA=4，再根據(jù)C點(diǎn)x軸負(fù)半軸上，AC=6即可求得答案；

(2)先求出S△ABC=9，S△BOP=OP，再根據(jù)S△POB=S△ABC，可得OP=6，即可寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)先得到點(diǎn)H的坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)B的坐標(biāo)可得到BH//AC，然后根據(jù)點(diǎn)M在射線CH上，分點(diǎn)M在線段CH上與不在線段CH上兩種情況分別進(jìn)行討論即可得.

(1)∵A(4，0)，

∴OA=4，

∵C點(diǎn)x軸負(fù)半軸上，AC=6，

∴OC=AC-OA=2，

∴C(-2，0)；

(2)∵B(2，3)，

∴S△ABC=×6×3=9，S△BOP=OP×2=OP，

又∵S△POB=S△ABC，

∴OP=×9=6，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(0，6)或(0，-6)；

(3)∠BMA=∠MAC±∠HBM，證明如下：

∵把點(diǎn)C往上平移3個(gè)單位得到點(diǎn)H，C(-2，0)，

∴H(-2，3)，

又∵B(2，3)，

∴BH//AC；

如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在線段HC上時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作MN//AC，

∴∠MAC=∠AMN，MN//HB，

∴∠HBM=∠BMN，

∵∠BMA=∠BMN+∠AMN，

∴∠BMA=∠HBM+∠MAC；

如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在射線CH上但不在線段HC上時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作MN//AC，

∴∠MAC=∠AMN，MN//HB，

∴∠HBM=∠BMN，

∵∠BMA=∠AMN-∠BMN，

∴∠BMA=∠MAC-∠HBM；

綜上，∠BMA=∠MAC±∠HBM.