Question

如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中，AD⊥BC,點(diǎn)P為邊AB 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)作PF//AC交線段BD于點(diǎn)F,作PG⊥AB交AD于點(diǎn)E,交線段CD于點(diǎn)G,設(shè)BP=x.

（1）①填空：如果BP=,則BG=       ;
②用x的代數(shù)式表示線段DG的長(zhǎng),并直接寫出自變量x的取值范圍;
（2）記△DEF的面積為S,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式。
（3）當(dāng)以P、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△EDG相似時(shí)，請(qǐng)求出BP的長(zhǎng)。

Answer 1

（1）BG=；ＤＧ＝2x－1、 （2）S=（3）

試題分析：（1）①在邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中，所以；作PG⊥AB交AD于點(diǎn)E,交線段CD于點(diǎn)G，，在三角形BPG中，由三角形內(nèi)角和定理知，因?yàn)锽P=，所以BG= 

②∵ＰＦ／／ＡＣ，∴△ＰＢＦ為等邊三角形，∴ＢＦ＝ＰＦ＝ＰＢ＝x.
又∵ＢＧ＝2x，ＢＤ＝1，∴ＤＧ＝2x－1，∴０＜2x－1≤１，∴. 
（2）S=DE×DF=
= 
（3）①如圖１，若∠ＰＦＥ＝∠EDG=90，∵∠EGD =∠FPE ∴∽△ＥＤＧ，∴∠EFD=∠EGD=30 ∴EF=EG 
∵AD⊥BC   ∴ＤＦ＝ＤＧ   即解得：． 
②如圖２，若∠ＰＥＦ＝∠EDG=90時(shí)，∵∠EGD =∠FPE ∴∽△DEG 
∵∠FED=30

∴ＤＦ＝ＥＦ＝ＢＰ，
即．解得： 
點(diǎn)評(píng)：本題考查直角三角形，等邊三角形，相似三角形，解答本題需要掌握直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，熟悉相似三角形的證明方法，會(huì)證明兩個(gè)三角形相似