Question

已知二次函數(shù)y=ax²+4ax+4a-1的圖象是C₁．
（1）求C₁關(guān)于點(diǎn)R（1，0）中心對(duì)稱的圖象C₂的函數(shù)解析式；
（2）在（1）的條件下，設(shè)拋物線C₁、C₂與y軸的交點(diǎn)分別為A、B，當(dāng)AB=18時(shí)，求a的值．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)镃₁和C₂關(guān)于點(diǎn)R（1，0）中心對(duì)稱，所以它們的頂點(diǎn)也中心對(duì)稱．先求出y=ax²+4ax+4a-1的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)中心對(duì)稱的定義求出C₂的頂點(diǎn)坐標(biāo)，便可進(jìn)一步求出C₂的函數(shù)解析式；
（2）把x=0代入解析式即可得到A、B點(diǎn)的縱坐標(biāo)，將縱坐標(biāo)相減，其差的絕對(duì)值即為18，可列出等式求出a的值．

解答：解：（1）由y=a（x+2）²-1，可知拋物線C₁的頂點(diǎn)為M（-2，-1）．
由圖知點(diǎn)M（-2，-1）關(guān)于點(diǎn)R（1，0）中心對(duì)稱的點(diǎn)為N（4，1），
以N（4，1）為頂點(diǎn)，與拋物線C₁關(guān)于點(diǎn)R（1，0）中心對(duì)稱的圖象C₂也是拋物線，
且C₁與C₂的開口大小相同且方向相反，
故拋物線C₂的函數(shù)解析式為y=-a（x-4）²+1，
即y=-ax²+8ax-16a+1．（3分）

（2）令x=0，
得拋物線C₁、C₂與y軸的交點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)分別為4a-1和-16a+1．
∴AB=|（4a-1）-（-16a+1）|=|20a-2|．
∴|20a-2|=18．
當(dāng)a≥

1

10

時(shí)，有20a-2=18，得a=1；
當(dāng)a＜

1

10

時(shí)，有2-20a=18，得a=-

4

5

．（7分）

點(diǎn)評(píng)：此題將中心對(duì)稱的問題與二次函數(shù)解析式相結(jié)合，同時(shí)考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)以及坐標(biāo)軸上點(diǎn)的距離公式，特別是（2）還涉及到分類討論思想，是一道好題．