Question

12．已知反比例函數(shù)y=$\frac{k-1}{x}$（k為常數(shù)，k≠1）．
（1）其圖象與正比例函數(shù)y=x的圖象的一個交點為P，若點P的縱坐標是2，求k的值；
（2）若在其圖象的每一支上，y隨x的增大而減小，求k的取值范圍；
（3）若其圖象的一支位于第二象限，在這一支上任取兩點A（x₁、x₂）、B（x₂、y₂），當y₁＞y₂時，試比較x₁與x₂的大��；
（4）若在其圖象上任取一點，向x軸和y軸作垂線，若所得矩形面積為6，求k的值．

Answer 1

分析 （1）設點P的坐標為（m，2），由點P在正比例函數(shù)y=x的圖象上可求出m的值，進而得出P點坐標，再根據(jù)點P在反比例函數(shù)y=$\frac{k-1}{x}$的圖象上，所以2=$\frac{k-1}{2}$，解得k=5；
（2）由于在反比例函數(shù)y=$\frac{k-1}{x}$圖象的每一支上，y隨x的增大而減小，故k-1＞0，求出k的取值范圍即可；
（3）反比例函數(shù)y=$\frac{k-1}{x}$圖象的一支位于第二象限，故在該函數(shù)圖象的每一支上，y隨x的增大而增大，所以A（x₁，y₁）與點B（x₂，y₂）在該函數(shù)的第二象限的圖象上，且y₁＞y₂，故可知x₁＞x₂；
（4）利用反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義直接寫出答案即可．

解答 解：（1）由題意，設點P的坐標為（m，2）
∵點P在正比例函數(shù)y=x的圖象上，
∴2=m，即m=2．
∴點P的坐標為（2，2）．
∵點P在反比例函數(shù)y=$\frac{k-1}{x}$的圖象上，
∴2=$\frac{k-1}{2}$，解得k=5．

（2）∵在反比例函數(shù)y=$\frac{k-1}{x}$圖象的每一支上，y隨x的增大而減小，
∴k-1＞0，解得k＞1．

（3）∵反比例函數(shù)y=$\frac{k-1}{x}$圖象的一支位于第二象限，
∴在該函數(shù)圖象的每一支上，y隨x的增大而增大．
∵點A（x₁，y₁）與點B（x₂，y₂）在該函數(shù)的第二象限的圖象上，且y₁＞y₂，
∴x₁＞x₂．

（4）∵在其圖象上任取一點，向兩坐標軸作垂線，得到的矩形為6，
∴|k|=6，
解得：k=±6．

點評 本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題及反比例函數(shù)的性質，熟知反比例函數(shù)的增減性是解答此題的關鍵．