Question

如圖，點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，以P為圓心的圓分別與x軸、y軸交于A、B、C、D四點(diǎn)，已知A（-3，0）、B（1，0），過(guò)點(diǎn)C作⊙P的切線交x軸于點(diǎn)E．
（1）求直線CE的解析式；
（2）若點(diǎn)F是線段CE上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為m，問(wèn)m在什么范圍時(shí)，直線FB與⊙P相交？
（3）若直線FB與⊙P的另一個(gè)交點(diǎn)為N，當(dāng)點(diǎn)N是

ADB

的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（4）在（3）的條件下，CN交x軸于點(diǎn)M，求CM•CN的值．

Answer 1

分析：（1）連PC，利用OC²=OA•OB，得OC=

3

，得C的坐標(biāo)，利用CE是⊙P的切線，求E的坐標(biāo)，
設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b，將C、E兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，可得直線CE的解析式；
（2）當(dāng)0≤m≤3且m≠1時(shí)，直線FB與⊙P相交；
（3）先求得N（-1，-2）設(shè)直線NB的解析式為y=kx+b，把N、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，
求直線NB的解析式．解兩直線表達(dá)式組成的方程組，求交點(diǎn)坐標(biāo)；
（4）連接AC、BC，點(diǎn)N是

ADB

的中點(diǎn)，易證△AMC∽△NBC．所以

MC

BC

=

AC

NC

，即MC•NC=BC•AC．分別求相關(guān)線段的長(zhǎng)得解．

解答：解：（1）連PC．
∵A（-3，0），B（1，0），
∴⊙P的直徑是4，
∴半徑R=2，OP=1．
又∵CD⊥AB，AB是直徑，
∴OC²=OA•OB=3×1=3，
∴OC=

3

．
∴C（0，

3

）．                                           （1分）
又∵⊙P的半徑是2，OP=1，
∴∠PCO=30°．
又CE是⊙P的切線，
∴PC⊥CE．
∴∠PEC=30°．
∴PE=2PC=4，EO=PE-MP=3．
∴E（3，0）．                                             （2分）
設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b，將C、E兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，
得

3k+b=0 b= 3

，解得

k=- 3 3 b= 3

．
∴直線CE的解析式為y=-

3

3

x+

3

①；（4分）

（2）∵m=1時(shí)，直線FB與⊙P相切，∴m≠1．
∵E（3，0），
∴當(dāng)0≤m≤3且m≠1時(shí)，直線FB與⊙P相交；（6分）

（3）解法一：∵點(diǎn)N是

ADB

的中點(diǎn)，
∴N（-1，-2）．
設(shè)直線NB的解析式為y=kx+b，把N、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，
得

k+b=0 -k+b=-2

，解得

k=1 b=-1

．
∴直線NB的解析式為y=x-1 ②．
由①，②式得

y=x-1 y=- 3 3 x+ 3

，解得

x= 3 y= 3 -1

．
∴F（

3

，

3

-1）．                                       （10分）
解法二：過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BE于H，
∵N是

ADB

的中點(diǎn)，
則∠ABN=∠FBE=45°，
∴∠BFH=45°，∴BH=FH．
由（1）知∠CEP=30°，
∴HE=

3

FH．
∵OE=OB+BH+HE，
∴1+FH+

3

FH=3，F(xiàn)H=

3

-1，
∴OH=OB+BH=1+（

3

-1）=

3

．
∴F（

3

，

3

-1）；

（4）連接AC、BC．
∵點(diǎn)N是

ADB

的中點(diǎn)，
∴∠NCA=∠CAN，又∠CAB=∠CNB，
∴△AMC∽△NBC．
∴

MC

BC

=

AC

NC

，
∴MC•NC=BC•AC．
∵OA=OE=3，
∴△ACE為等腰三角形．
∴AC=CE=

OC

sin∠CEO

=

3

sin30°

=2

3

，BC=

OC2+OB2

=2．
∴MC•NC=BC•AC=4

3

．                                      （14分）

點(diǎn)評(píng)：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象上點(diǎn)的意義和相似三角形的性質(zhì)來(lái)表示相應(yīng)的線段之間的關(guān)系，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．試題中貫穿了方程思想和數(shù)形結(jié)合的思想，請(qǐng)注意體會(huì)．