Question

【題目】如圖，AB與⊙O相切于點B，BC為⊙O的弦，OC⊥OA，OA與BC相交于點P．
（1）求證：AP=AB；
（2）若OB=4，AB=3，求線段BP的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵OC=OB，

∴∠OCB=∠OBC，

∴AB是⊙O的切線，

∴OB⊥AB，

∴∠OBA=90°，

∴∠ABP+∠OBC=90°，

∵OC⊥AO，

∴∠AOC=90°，

∴∠OCB+∠CPO=90°，

∵∠APB=∠CPO，

∴∠APB=∠ABP，

∴AP=AB

（2）解：作OH⊥BC于H．

在Rt△OAB中，∵OB=4，AB=3，

∴OA= =5，

∵AP=AB=3，

∴PO=2．

在Rt△POC中，PC= =2 ，

∵ PCOH= OCOP，

∴OH= = ，

∴CH= = ，

∵OH⊥BC，

∴CH=BH，

∴BC=2CH= ，

∴PB=BC﹣PC= ﹣2 = ．

【解析】（1）欲證明AP=AB，只要證明∠APB=∠ABP即可；（2）作OH⊥BC于H．在Rt△POC中，求出OP、PC、OH、CH即可解決問題．
【考點精析】利用切線的性質(zhì)定理對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．