Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)P到x軸的距離是4，拋物線與x軸相交于O，M兩點(diǎn)，OM=4，矩形ABCD的邊BC在線段OM上，點(diǎn)A，D在拋物線上．
（1）寫出P，M兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）設(shè)矩形ABCD的周長為L，求L的最大值；
（3）當(dāng)矩形ABCD的周長最大時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)E，使得△DME的周長最小？如果存在，請(qǐng)寫出E點(diǎn)坐標(biāo)及△DME的周長最小值；如果不存在，請(qǐng)簡要說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件得出圖象經(jīng)過（0，0），（4，0）再結(jié)合圖象的對(duì)稱性得出頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），代入解析式即可；
（2）利用（1）中解析式用x表示出矩形的周長，再結(jié)合矩形的最值問題求出最值；
（3）利用平行線的性質(zhì)與軸對(duì)稱性質(zhì)得出△DME的周長最小值，即OD+DM，利用勾股定理求出即可．

解答：解：（1）由已知可得：頂點(diǎn)P到x軸的距離是4，
即P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，
∵拋物線與x軸相交于O，M兩點(diǎn)，OM=4，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，4），
解析式為：y=a（x-2）²+4，
將M點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0）代入求出a=-1，
∴解析式為：y=-1（x-2）²+4=-x²+4x；

（2）∵點(diǎn)A，D在拋物線上，假設(shè)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，縱坐標(biāo)就是-x²+4x
∴即（x，-x²+4x），AB=-x²+4x，
∵OB=x，CM=x
∴BC=4-2x，
∴矩形ABCD的周長為L=2（-x²+4x+4-2x）=-2x²+4x+8
當(dāng)x=-

b

2a

=1時(shí)，L有最大值

4ac-b 2

4a

=10

（3）存在．
因?yàn)槭钱?dāng)矩形ABCD的周長最大時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)E，
使得△DME的周長最小，即當(dāng)x=-

b

2a

=1時(shí)，L有最大值

4ac-b 2

4a

=10，
∴A（x，-x²+4x），A的坐標(biāo)為（1，3），連接OD與拋物線的對(duì)稱軸直線x=2交于一點(diǎn)，
即AB=3，OB=1，CD=3，CM=1，
∴OF=2，OC=3，CD=3，PF∥CD，
∴EF=2，
∵A，D關(guān)于x=2對(duì)稱，O，M也是關(guān)于x=2對(duì)稱，則AC一定經(jīng)過點(diǎn)E．
∴△DME的周長=EM+DM+EC=DM+EC+AE=AM+DM．
∴點(diǎn)E為滿足條件的點(diǎn)，E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）．
∴DM=

CD2+CM2

=

10

，
根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱性O(shè)D=DE+EM=

OC2+CD2

=

32+32

=3

2

，
此時(shí)△DME的周長最小值為：OD+DM=3

2

+

10

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了用頂點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式，以及二次函數(shù)最值問題，以及利用對(duì)稱性求線段最短問題，本類型是中考中重點(diǎn)題型，在多次中考題中出現(xiàn)過．