Question

如圖，已知ABC中，AB =AC，BAC= 90，分別過點B、C向過A的直線EF作垂線，垂足分別為點E、F．
  (1)如圖1，①過A的直線與斜邊BC不相交時，求證：EF= BE+ CF;
  (2)如圖2，②過A的直線與斜邊BC相交時，其他條件不變，若BE =10，CF =3,試求FE的長．

               圖1                 圖2

Answer 1

(1)證明：∵BEEF，CFEF，∴BEF=CFE= 90
 ∴在Rt△ABE中，BEF= 90，∴ABE+BAE= 90.
∵BAC= 90，∴BAE+CAF =90，∴ABE=CAF.
  在△ABE與△CAF中，
  
 ∴△ABE≌△CAF，即 BE =AF，CF= AE. EF =AE +AF.
 ∴EF= BE+ CF.
  (2)解：∵BEAF, CFAF．∴AEB=AFC=90,
在Rt△ABE中， AEB =90, ∴ABE+BAE= 90.∵BAC=90
∴BAE+ CAF =90,即ABE=CAF.在△ABE與△CAF中，
  
   ∴△ABE≌△ACF. ∴AE=CF，AF= BE，∵EF =AFAE,
  ∴EF= BECF= 103=7．