Question

如圖，在矩形ABCD中，BC=20cm，P、Q、M、N分別從A、B、C、D出發(fā)，沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的邊上同時(shí)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)所在運(yùn)動(dòng)邊的另一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)即停止、已知在相同時(shí)間內(nèi)，若BQ=xcm（x≠0），則AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x²cm，
（1）當(dāng)x為何值時(shí)，點(diǎn)P、N重合；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，以P、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

Answer 1

分析：（1）由于若BQ=xcm（x≠0），則AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x²cm，而點(diǎn)P、N重合，那么2x+x²=20，解這個(gè)方程即可求出x的值；
（2）由于當(dāng)N點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，x=2

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，此時(shí)M點(diǎn)和Q點(diǎn)還未相遇，所以點(diǎn)Q只能在點(diǎn)M的左側(cè)．
以P、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的左側(cè)時(shí)，由此即可得到關(guān)于x的方程，解方程即可；
②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時(shí)，由此也可以列出關(guān)于x的方程，解方程即可．

解答：解：（1）∵P，N重合，
∴2x+x²=20，
∴x1=

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-1，x2=-

21

-1（舍去），
∴當(dāng)x=

21

-1時(shí)，P，N重合；

（2）因?yàn)楫?dāng)N點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，x=2

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，此時(shí)M點(diǎn)和Q點(diǎn)還未相遇，
所以點(diǎn)Q只能在點(diǎn)M的左側(cè)，
①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的左側(cè)時(shí)，依題意得
20-（x+3x）=20-（2x+x²），
解得x₁=0（舍去），x₂=2，
當(dāng)x=2時(shí)四邊形PQMN是平行四邊形；
②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時(shí)，依題意得
20-（x+3x）=（2x+x²）-20，
解得x₁=-10（舍去），x₂=4，
當(dāng)x=4時(shí)四邊形NQMP是平行四邊形，
所以當(dāng)x=2或x=4時(shí)，以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：此題是一個(gè)運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題，把運(yùn)動(dòng)和平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合起來(lái)，利用題目的熟練關(guān)系列出一元二次方程解決問(wèn)題．解題時(shí)首先要認(rèn)真閱讀題目，正確理解題意，然后才能正確設(shè)未知數(shù)列出方程解題．