Question

如圖，已知拋物線與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，在其對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，以B，C，D，M為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形，試求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由于A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)均在坐標(biāo)軸上，故設(shè)一般式解答和設(shè)交點(diǎn)式（兩點(diǎn)式）解答均可．
（2）分以CD為底和以CD為腰兩種情況討論．運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式建立起P點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，再結(jié)合拋物線解析式即可求解．
（3）根據(jù)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，利用勾股定理求出相關(guān)邊長(zhǎng)，再利用勾股定理的逆定理判斷出直角梯形中的直角，便可解答．

解答：解：（1）∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，3），
∴設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+3（a≠0），
根據(jù)題意，得

a-b+3=0 9a+3b+3=0

，
解得

a=-1 b=2

，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．

（2）存在．
由y=-x²+2x+3得，D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），對(duì)稱(chēng)軸為x=1．
①若以CD為底邊，則PD=PC，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，
得x²+（3-y）²=（x-1）²+（4-y）²，
即y=4-x．
又P點(diǎn)（x，y）在拋物線上，
∴4-x=-x²+2x+3，
即x²-3x+1=0，
解得x₁=

3+ 5

2

，x₂=

3- 5

2

＜1，應(yīng)舍去，
∴x=

3+ 5

2

，
∴y=4-x=

5- 5

2

，
即點(diǎn)P坐標(biāo)為(

3+ 5

2

，

5- 5

2

)．
②若以CD為一腰，
∵點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線上，由拋物線對(duì)稱(chēng)性知，點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，
此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，3）．
∴符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為(

3+ 5

2

，

5- 5

2

)或（2，3）．

（3）由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根據(jù)勾股定理，
得CB=3

2

，CD=

2

，BD=2

5

，
∴CB²+CD²=BD²=20，
∴∠BCD=90°，
設(shè)對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)E，過(guò)C作CM⊥DE，交拋物線于點(diǎn)M，垂足為F，在Rt△DCF中，
∵CF=DF=1，
∴∠CDF=45°，
由拋物線對(duì)稱(chēng)性可知，∠CDM=2×45°=90°，點(diǎn)坐標(biāo)M為（2，3），
∴DM∥BC，
∴四邊形BCDM為直角梯形，
由∠BCD=90°及題意可知，
以BC為一底時(shí)，頂點(diǎn)M在拋物線上的直角梯形只有上述一種情況；
以CD為一底或以BD為一底，且頂點(diǎn)M在拋物線上的直角梯形均不存在．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，3）．

點(diǎn)評(píng)：此題是一道典型的“存在性問(wèn)題”，結(jié)合二次函數(shù)圖象和等腰三角形、直角梯形的性質(zhì)，考查了它們存在的條件，有一定的開(kāi)放性．