Question

如圖，點A是△ABC和△ADE的公共頂點，∠BAC＋∠DAE＝180°，AB＝k?AE，AC＝k?AD，點M是DE的中點，直線AM交直線BC于點N．

⑴探究∠ANB與∠BAE的關系，并加以證明．

說明：如果你經(jīng)過反復探索沒解決問題，可以從下面①②中選取一個作為已知條件，再完成你的證明，選�、俦冗x原題少得2分，選�、诒冗x原題少得5分．

①     如圖18，k＝1；②如圖19，AB＝AC．

⑵若△ADE繞點A旋轉，其他條件不變，則在旋轉的過程中⑴的結論是否發(fā)生變化？如果沒有發(fā)生變化，請寫出一個可以推廣的命題；如果有變化，請畫出變化后的一個圖形，并直接寫出變化后∠ANB與∠BAE的關系．

 

Answer 1

（1）∠ANB+∠BAE=180º． ………………………………………………………1分

證明：（法一）如圖1，延長AN到F，使MF=AM，連接DF、EF. ………………2分

∵點M是DE 的中點，∴DM=ME，

∴四邊形ADFE是平行四邊形 ，……………………………………………………3分

∴AD∥EF，AD=EF，

∴∠DAE+∠AEF =180º，

∵∠BAC+∠DAE=180º，

∴∠BAC=∠AEF ， …………………………………………………………………4分

∵AB=kAE，AC=kAD，

∴，

∴………………………………………6分

∴△ABC∽△EAF

∴∠B=∠EAF   …………………………………8分

∵∠ANB+∠B+∠BAF =180º

∴∠ANB+∠EAF+∠BAF =180º

即∠ANB+∠BAE=180º，………………………………………………………10分

（法二）如圖2，延長DA到F，使AF=AD，連接EF.……………………2分

∵∠BAC+∠DAE=180º，∠DAE +∠EAF =180º，

∴∠BAC=∠EAF，………………………………………………………………3分

∵AB=kAE，AC=kAD，

∴，

∴， ………………………………………4分

∴△ABC∽△AEF， …………………………………5分

∴∠B=∠AEF，………………………………………6分

∵點M是DE 的中點，∴DM=ME，

又∵AF=AD，

∴AM是△DEF的中位線，

∴AM∥EF，…………………………………………7分

∴∠NAE=∠AEF，

∴∠B=∠NAE， ……………………………………8分

∵∠ANB+∠B+∠BAN=180º，

∴∠ANB+∠NAE+∠BAN =180º，

即∠ANB+∠BAE=180º． …………………………10分

(2)變化．如圖3（僅供參考），∠ANB=∠BAE．（圖和結論各1分）………………12分

選取（），如圖4.

證明：延長AM到F，使MF=AM，連接DF、EF.

   ……………………………………………………2分

∵點M是DE的中點，∴DM=ME

∴四邊形ADFE是平行四邊形， …………………4分

∴AD∥FE，AD=EF，

∴∠DAE+∠AEF =180º，

∵∠BAC+∠DAE=180º，

∴∠BAC=∠DAE，  ………………………………6分

∵AB=kAE，AC=kAD，，

∴AB=AE ，AC=AD，

∴AC=EF，………………………………………………………………………………7分

∴△ABC≌△EAF，

∴∠B=∠EAF，  ……………………………………………………………………8分

∵∠ANB+∠B+∠BAF=180º，

∴∠ANB+∠EAF+∠BAF=180º，

即∠ANB+∠BAE=180º． ……………………………………………………………10分

選�。ǎ�，如圖5.

證明：∵AB=AC，

∴∠B=（180º-∠BAC），…………………………………………………………3分

∵∠BAC+∠DAE=180º，

∴∠DAE=180º-∠BAC，

∴∠B=∠DAE，

∵AB=kAE，AC=kAD，

∴AE=AD，

∵AM是△ADE的中線，AB=AC，

∴∠EAM=∠DAE，

∴∠B=∠EAM，……………………………………………………………………4分

∵∠ANB+∠B+∠BAM=180º，

∴∠ANB+∠EAM +∠BAM=180º，

即∠ANB+∠BAE=180º．…………………………………………………………5分