Question

（2013•寧德）定義：在平面直角坐標系中，過一點分別作坐標軸的垂線，若垂線與坐標軸圍成矩形的周長與面積相等，則這個點叫做“和諧點”．
如圖1，矩形ABOC的周長與面積相等，則點A是“和諧點”
（1）判斷點E（2，3），F(xiàn)（4，4）是否為“和諧點”；
（2）如圖2，若點P（a，b）是雙曲線y=

18

x

上的“和諧點”，求滿足條件的所有P點坐標．

Answer 1

分析：（1）利用和諧點的定義直接判斷得出即可；
（2）利用和諧點的定義，得出18=2|x+

18

x

|，進而求出即可．

解答：解：（1）根據(jù)在平面直角坐標系中，過一點分別作坐標軸的垂線，若垂線與坐標軸圍成矩形的周長與面積相等，則這個點叫做“和諧點”，
∵點E（2，3），2×（2+3）=10，2×3=6，
∴10≠6，
∴E點不是“和諧點”，
∵點F（4，4），2×（4+4）=16，4×4=16，
∴16=16，
∴F點是“和諧點”；

（2）設P點坐標為：（x，

18

x

），由題意得出：18=2|x+

18

x

|，
當18=2（x+

18

x

）
整理得出：x²-9x+18=0，
解得：x₁=3，x₂=6，
當-18=2（x+

18

x

）
整理得出：x²+9x+18=0，
解得：x₃=-3，x₄=-6，
∴P點坐標為：（3，6），（6，3），（-3，-6），（-6，-3）．

點評：此題主要考查了新定義以及反比例函數(shù)的綜合應用以及一元二次方程的解法，根據(jù)定義得出正確信息是解題關鍵．