Question

（2013•甘井子區(qū)二模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，AC=

5

，BC=2

5

．繞點A將△ACD逆時針旋轉(zhuǎn)90°形成△AC₁D₁，點P從點A出發(fā)沿線段AB以每秒一個單位長度的速度向點B運動，運動時間為t（秒），過點P作AB的垂線l，△AC₁D₁關(guān)于直線l的軸對稱圖形為△A₁C₂D₂．
（1）畫出△AC₁D₁；
（2）當(dāng)點D₂落在BC上時，t的值為

3.5

秒；
（3）令△A₁C₂D₂與△BCD的重疊面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）圖1，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作出圖形即可；
（2）如圖4，延長CD交D₁C₁于點G，連接C₁C₂，先由勾股定理求出AB的值，再由面積公式求出CD的值，就可以求出AD的值，由旋轉(zhuǎn)可以得出三角形全等，就有AD=AD₁，DC=D₁C₁，由△CDB∽△CGD₂，就可以求出GD₂的值，由軸對稱就可以得出D₁D₂=2AP=2t建立方程求出其解即可．
（3）分情況討論，如圖2，當(dāng)0＜t≤1時，可以求出S由t的函數(shù)關(guān)系式，如圖3，當(dāng)1＜t≤2時，可以求出S與t的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）由題意畫出圖形為，如圖1．

（2）如圖4，延長CD交D₁C₁于點G，連接C₁C₂，
∵∠ACB=90°，AC=

5

，BC=2

5

．
∴由勾股定理，得AB=5，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，

1

2

×

5

×2

5

=

1

2

CD×5，
∴CD=2．
∴由勾股定理，得
AD=1．
∴DB=4．
∵繞點A將△ACD逆時針旋轉(zhuǎn)90°形成△AC₁D₁，
∴△ACD≌△AC₁D₁，∠BAD₁=90°．
∴AD=AD₁=1，DC=D₁C₁=2．∠ADC=∠D₁=90°
∴AB∥D₁C₁，
∴∠D₁GD=∠ADG=90°．
∴四邊形AD₁GD是正方形，
∴DG=AD=D₁G=1，
∴CG=3．
∵AB∥D₁C₁，
∴△CDB∽△CGD₂，
∴

CD

CG

=

DB

GD2

，
∴

2

3

=

4

GD2

，
∴GD₂=6．
∴D₁D₂=7．
∵△AC₁D₁關(guān)于直線l的軸對稱圖形為△A₁C₂D₂，
∴D₁D₂=2D₁F，
∴AP=D₁F=t，
∴2t=7，
∴t=3.5．
故答案為3.5；

（3）如圖2，當(dāng)0＜t≤1時，
PA=PA₁=t，
∴AA₁=2t，
∴D₁D₂=2t，
∴D₂C₁=2-2t．
∵tan∠C₁=

1

2

，
∴D₂H=1-t
∴FC₁=2-t，
∴EF=1-

1

2

t．
∴S=

(1- 1 2 t+1-t)t

2

×2=2t-

3

2

t²，
如圖3，當(dāng)1＜t≤2時，
D₁F=t，F(xiàn)C₁=2-t，
∴EF=1-

1

2

t，
∴S=

1

2

×（2-t）（1-

1

2

t）×2=2-2t+

1

2

t²．
S=

2t- 3 2 t2 2-2t+ 1 2 t2

．．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，相似三角形的性質(zhì)的運用，軸對稱的性質(zhì)的運用，正切值的運用，分類討論思想的運用，解答時運用軸對稱的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．