Question

【題目】已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為直線BC上一動點(點D不與B、C重合)．以AD為邊作正方形ADEF，連接CF．

（1）如圖1，當(dāng)點D在線段BC上時，請直接寫出線段BD與CF的數(shù)量關(guān)系： ；

（2）如圖2，當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，其它條件不變，若AC=2，CD=1，則CF= ；

（3）如圖3，當(dāng)點D在線段BC的反向延長線上時，且點A、F分別在直線BC的兩側(cè)，其它條件不變：

①請直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的關(guān)系： ；

②若連接正方形對角線AE、DF，交點為O，連接OC，探究△AOC的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）BD=CF；（2）；（3）①CD=CF+BC，②等腰三角形，見解析

【解析】

（1）△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可證明△BAD≌△CAF；

（2）同（1）相同，利用SAS即可證得△BAD≌△CAF，從而證得BD=CF，即可得到CF=CD+BC，然后求出答案；

（3）中的①與（1）相同，可證明BD=CF，又點D、B、C共線，故：CD=BC+CF；
②由（1）猜想并證明BD⊥CF，從而可知△FCD為直角三角形，再由正方形的對角線的性質(zhì)判定△AOC三邊的特點，再進一步判定其形狀．

解：（1）證明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD=CF，

（2）與（1）同理，證△BAD≌△CAF；

∴BD=CF，

∴CF=BC+CD，

∵AC=AB=2，CD=1，

∴，

∴CF=；

（3）①BC、CD與CF的關(guān)系：CD=BC+CF
理由：與（1）同法可證△BAD≌△CAF，從而可得：
BD=CF，
即：CD=BC+CF
②△AOC是等腰三角形
理由：與（1）同法可證△BAD≌△CAF，可得：∠DBA=∠FCA，
又∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
則∠ABD=180°-45°=135°，
∴∠ABD=∠FCA=135°
∴∠DCF=135°-45°=90°
∴△FCD為直角三角形．
又∵四邊形ADEF是正方形，對角線AE與DF相交于點O，
∴OC=DF，
∴OC=OA
∴△AOC是等腰三角形．