Question

如圖，拋物線y=ax²+bx-3經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點(diǎn)D在x軸負(fù)半軸上，若點(diǎn)D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)E恰好在拋物線上，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）如圖2，將拋物線的頂點(diǎn)平移至原點(diǎn)，點(diǎn)R為y軸正半軸上一點(diǎn)，過(guò)R作不平行x軸的直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在點(diǎn)R使△OPQ的外心在PQ邊上？若存在，求點(diǎn)R的坐標(biāo)？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，通過(guò)解方程組即可求出待定系數(shù)的值．
（2）設(shè)直線DE和直線AC的交點(diǎn)為F，顯然Rt△ADF和Rt△ACO相似，即∠ADF和∠ACO的正切、正弦、余弦值都相同，設(shè)AD=x，可由x表達(dá)出AF、DF的長(zhǎng)，過(guò)E作EG⊥x軸于G，由于DE關(guān)于直線AC對(duì)稱，那么DE=2DF，然后根據(jù)∠ADE的三角函數(shù)值求出DG、EG的長(zhǎng)，由此得出點(diǎn)E的坐標(biāo)表達(dá)式，再代入拋物線的解析式中即可確定點(diǎn)E的坐標(biāo)．
（3）拋物線在平移過(guò)程中，開(kāi)口方向和大小不變，即二次項(xiàng)系數(shù)不變，可據(jù)此求出平移后的函數(shù)解析式，分別過(guò)P、Q作x軸的垂線，設(shè)垂足為M、N，首先根據(jù)拋物線的解析式設(shè)出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，若△OPQ的外心在PQ邊上，那么△POQ必為直角三角形，且∠POQ為直角，由此得出的結(jié)論為Rt△PMO、Rt△ONQ相似，根據(jù)對(duì)應(yīng)的直角邊成比例可求出P、Q兩點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)的數(shù)量關(guān)系，利用待定系數(shù)法求出直線PQ的解析式后結(jié)合這個(gè)數(shù)量關(guān)系即可求出點(diǎn)R的坐標(biāo)．

解答：解：（1）將A（-1，0），B（3，0）代入y=ax²+bx-3中，得：

a-b-3=0 9a+3b-3=0

，
解得

a=1 b=-2

故拋物線的解析式：y=x²-2x-3．

（2）設(shè)直線AC與直線DE的交點(diǎn)為F，由題意知：DE⊥AF，且DE=2DF=2EF；
∵∠DAF=∠CAO，∴∠FDA=∠OCA；
在Rt△OAC中，OA=1、OC=3，則：AC=

10

，
∴sin∠FDA=sin∠OCA=

10

10

，cos∠FDA=cos∠OCA=

3 10

10

，tan∠FDA=tan∠OCA=

1

3

；
設(shè)AD=x，則：AF=AD•sin∠ADF=

10

10

x，DF=AD•cos∠ADF=

3 10

10

x，DE=2DF=

3 10

5

x；
過(guò)點(diǎn)E作EG⊥x軸于G，如右圖1；
在Rt△DEG中，EG=DE•sin∠ADF=

3 10

5

x•

10

10

=

3

5

x，DG=DE•cos∠ADF=

3 10

5

x•

3 10

10

=

9

5

x，
OG=DG-OD=

9

5

x-（x+1）=

4

5

x-1；
則：E（

4

5

x-1，

3

5

x），代入y=x²-2x-3=（x+1）（x-3）中，得：

4

5

x（

4

5

x-4）=

3

5

x，解得：x₁=0（舍）、x₂=

95

16

∴E（

15

4

，

57

16

）．

（3）由題意可知，平移后的拋物線解析式為：y=x²；
分別過(guò)P、Q作PM⊥x軸于M、QN⊥x軸于N，設(shè)P（-m，m²）、Q（n，n²），（m、n＞0），如右圖2；
若△OPQ的外心在PQ上，則△OPQ為直角三角形，且∠POQ為直角；
∴∠POM=∠OPN=90°-∠QON，
又∵∠PMO=∠ONQ=90°，∴△POM∽△OPN；
∴

PM

ON

=

OM

QN

，即：

m2

n

=

m

n2

，得：mn=1；
設(shè)直線PQ的解析式：y=kx+b，代入P、Q點(diǎn)的坐標(biāo)，有：

-mk+b=m2…① nk+b=n2…②

①×n+②×m，得：
（m+n）b=mn（m+n），即：b=mn=1；
∴R（0，1）；
綜上，存在符合條件的R點(diǎn)，且坐標(biāo)為（0，1）．

點(diǎn)評(píng)：這道題綜合考查了二次函數(shù)、函數(shù)圖象的平移規(guī)律、解直角三角形、軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)、直角三角形的外心位置以及相似三角形的應(yīng)用等重要知識(shí)；（2）題需要找出關(guān)鍵銳角的三角函數(shù)值；最后一題的難度較大，通過(guò)構(gòu)建相似三角形得到P、Q兩點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)的數(shù)量關(guān)系尤為重要．