Question

在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB交AB于點D，將三角板MNP按圖甲的位置擺放，使三角板的一條直角邊MP與AC邊在一條直線上，當另一條直角邊MN恰好經(jīng)過點B時，易證：BM=CD．

（1）當三角板沿AC方向平移到圖乙的位置（一條直角邊MP仍與AC邊在同一直線上，另一條直角邊MN交BC邊于點E，過點E作EF⊥AB于點F）時，請你猜想線段EF、EM、CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（2）當三角板沿AC方向繼續(xù)平移到圖丙所示的位置（線段NM的延長線與BC的延長線交于點E）時，線段EF、EM、CD之間的又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．

Answer 1

分析：（1）首先構(gòu)造直角三角形，進而利用全等三角形的判定得出△EWC≌△CME（AAS），即可得出EF、EM、CD之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）首先構(gòu)造直角三角形，進而利用全等三角形的判定得出△EWC≌△EMC，即可得出EF、EM、CD之間的數(shù)量關(guān)系．

解答：解：（1）EF+ME=CD，
理由：過點E作EW⊥CD于點W，
∵EF⊥AB，CD⊥AB，EW⊥CD，
∴四邊形DFEW是矩形，
∴DW=EF，BD∥WE，
∴∠B=∠WEC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠ACB=∠WEC，
在△EWC和△CME中

∠EMC=∠CWE ∠WEC=∠MCE EC=EC

，
∴△EWC≌△CME（AAS），
∴WC=ME，
∴CD=DW+WC=EF+ME；

（2）EF=ME+CD，
理由：過點C作CW⊥EF于點W，
∵EF⊥AB，CD⊥AB，CW⊥EF，
∴四邊形DFWC是矩形，
∴DC=WF，BA∥WC，
∴∠B=∠1，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠ACB=∠2，
∴∠1=∠2，
在△EWC和△EMC中

∠EWC=∠EMC=90° ∠1=∠2 EC=EC

，
∴△EWC≌△EMC（AAS），
∴WE=ME，
∴EF=FW+WE=CD+ME．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)等知識，熟練利用相關(guān)性質(zhì)得出對應角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．