Question

（2013•南京二模）在?ABCD中，AD=6，∠ABC=60°，點(diǎn)E在邊BC上，過點(diǎn)E作直線EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，EF與DC的延長線相交于點(diǎn)H．
（1）如圖1，已知點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，求證：以E為圓心、EF為半徑的圓與直線CD相切；
（2）如圖2，已知點(diǎn)E不是BC的中點(diǎn)，連接BH、CF，求梯形BHCF的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出EH⊥CH，進(jìn)而得出△BEF≌△CEH，EH=EF，即可得出答案；
（2）首先利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出梯形的高，進(jìn)而利用梯形面積公式求出．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∵∠EFB=90°，
∴∠EHC=90°，
∴EH⊥CH．
∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴EB=EC．
∵在△BEF和△CEH中

∠BFE=∠CHE ∠FEB=∠CEH BE=EC

∴△BEF≌△CEH（AAS），
∴EH=EF，
∴EH是⊙E的半徑．
∵直線CD過⊙E半徑EH的外端點(diǎn)H，
∴直線CD與⊙E相切．

（2）解：由平行四邊形的性質(zhì)得出AD=BC=6，
∵∠ABC=60°，EF⊥AB，
∴∠CEH=∠FEB=30°，
∴EH=EC×cos30°，EF=BE×cos30°，
∴FH=EC×cos30°+BE×cos30°=6×

3

2

=3

3

，
設(shè)CH=x，則CE=2x，BE=6-2x，BF=3-x，
S_梯形BHCF=

1

2

×（CH+BF）×3

3

=

1

2

×（x+3-x）×3

3

=

9

2

3

．

點(diǎn)評：此題主要考查了切線的判定以及梯形的面積公式和全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知得出梯形的高是解題關(guān)鍵．