Question

(本小題滿分10分)在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，將△ABC繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為(0°＜＜180°)，得到△A₁B₁C．

(1)如圖1，當AB∥CB₁時，設A₁B₁與BC相交于點D．證明：△A₁CD是等邊三角形；
(2)如圖2，連接AA₁、BB₁，設△ACA₁和△BCB₁的面積分別為S₁、S₂．
求證：S₁∶S₂＝1∶3；
(3)如圖3，設AC的中點為E，A₁B₁的中點為P，AC＝a，連接EP．當等于多少度時，EP的長度最大，最大值是多少？

Answer 1

見解析

（1）∵AB∥CB′，
∴∠B=∠BC B′=30°，
∴∠A′CD=60°，
又∵∠A′=60∠，
∴∠A′CD=∠A′=∠A′DC=60°，
∴△A′CD是等邊三角形；
（2）在Rt△ACB中∠ABC=30°
∴AC:BC=1:
又∵旋轉(zhuǎn)角度為θ
∴∠ACA'=∠BCB'
又∵將△ABC旋轉(zhuǎn)到△
∴AC=A'C   CB=CB'
∴AC:BC=A'C:B'C="1:"
∴△ACA'∽△BCB'
∴S1∶S2＝
（3）（3）當E,C,P三點在一條直線上時取得最大值，即旋轉(zhuǎn)120°，EP==.