Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

填空：________；

點(diǎn)在拋物線上，且，求面積的最大值；

設(shè)為線段上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒一個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再沿線段以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到后停止，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)最少？

Answer 1

【答案】（1）-3（2）當(dāng)時(shí)，面積的最大值為（3）

【解析】

（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得2+2m+4=0，然后，再求得m的值即可；
（2）先求得點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)，當(dāng)0<a<4時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交BC于D．設(shè)直線BC的解析式為y=kx+4，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入可求得BC的解析式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a，-a+4）．然后由S△PBC=S△PCD+S△PBD可得到△PBC的面積與a的函數(shù)關(guān)系式，從而可得到△PBC的面積的最大值，當(dāng)4≤a≤6時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線交BC于E．則E，PE=，然后依據(jù)S△PBC=S△PCE+S△PBE可得到△PBC的面積與a的函數(shù)關(guān)系式，從而可得到△PBC的面積的最大值；
（3）作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，過(guò)點(diǎn)A′作A′F⊥y軸，垂足為F，交BC與點(diǎn)H，依據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得到A′（4，2）將y=2代入直線BC的解析式可得到點(diǎn)H的坐標(biāo)．

（1）①當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交于．

令得：，解得或，

∴．

設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：，解得，

∴的解析式為．

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

∴．

∴．

當(dāng)時(shí)最大值為．

②當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交于．

∴，．

∴．

當(dāng)時(shí)最大值為．

綜上可知，當(dāng)時(shí)，面積的最大值為．作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，交與點(diǎn)．

∵的解析式為．

∴．

∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，

∴，，

∴．

在中，，即，

∴點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中所用的時(shí)間為．

∴當(dāng)點(diǎn)、、在一條直線上時(shí)，所用時(shí)間最短．

將代入得：，解得：，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．